LIVRE PREMIER. ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

tions arbitraires contenues dans les équations données. Pour faire comprendre quelles conséquences cette circonstance peut entraîner dans la théorie qui nous occupe, nous démontrerons le théorème suivant :

La fonction z étant définie par deux équations de la forme

y=Vl[xf a, <p(a), j'(a)],

Z=Y,[x, a, <p(a), ff'[a)]9

où F, et F* sont des fonctions données et 9 (a) une fonction arbitraire, si l'élimination de la fonction y (a) est possible entre les dérivées du premier ordre -£- et

-y.» l'équation entre x, y, 2, -t-> -j-t a laquelle elle conduit, est du premier degré

par rapport à -f- et -tv toutes les fois que les dérivées -f- et -^ contiennent dans leur expression la fonction <p"( a).

Posons, pour simplifier, -^ = /?, j- = q, en ayant soin de bien distinguer la

dérivée/? de la dérivée partielle -t-2* dans laquelle a est traité comme une constante, tandis que dans le calcul de p c'est y qui est regardé comme invariable.

Les équations (Y), différentiées par rapport à x, y étant regardé comme constant, donnent

dx du dx

^^F^rfF,^

-r-1 et -T-1 représentant les dérivées de F, et F2 par rapport à la lettre a considérée

comme variable partout où elle figure dans leur expression, c'est-à-dire aussi bien sous les signes f{oL) et 9' : «y que dans les termes où elle est engagée seule.

En égalant les valeurs de la dérivée partielle -r- déduites des équations (2), on a

4F, t/F, j/F, ^r ^ ~~ c/jr rf« ' </F, '

en différentiant les équations ( 1 ) par rapport à y en laissant x constant, nous aurons

d¥tdx

doc. Hj' </F, da

iOi PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

et par suite

En général, ces expressions de p et de q contiendront <f" (a), car cette dérivée figure nécessairement dans -j1 et dans -r1 : elle ne peut disparaître qu'en se trouvant accidentellement dans un facteur commun à ces deux dérivées. Or si

cela n'a pas lieu, on ne peut éliminer <p"(a) qu'en éliminant la fraction -rp- <

qui est seule à contenir cette dérivée, et le résultat de cette élimination est nécessairement

rfF, rfF, P dx dx V'

S'il existe une relation entre x, y, z9 p9 q9 c'est qu'il sera possible d'éliminer ensuite, a, (p (a) et <p' (a) entre cette équation et les deux proposées qui ne contiennent m p ni q, en sorte que le résultat sera nécessairement linéaire par rapport & p et à q.

Les équations

? (*) conduisent à la relation

qui n'est pas linéaire en/? et y. Il arrive en effet, comme l'exige le théorème précédent, que les dérivées -A et V- que l'on en déduit ne contiennent pas ç" (a).

Équations aux dérivées partielles des diverses classes de surfaces.

202. Nous allons considérer successivement les grandes classes de surfaces étudiées par les géomètres. L'application des méthodes auxquelles ce chapitre est consacré permet d'éliminer les fonctions arbitraires qui figurent dans leur équation générale et d'obtenir ainsi l'équation différentielle qui caractérise chaque classe.

Surfaces cylindriques. — Une surface cylindrique est engendrée par une droite qui