LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

se meut en restant parallèle à une droite fixe. Soient

x=-az-¥ a,

jr=bz + p,

les équations de la droite mobile, a et b sont deux constantes et a, /3 deux variables liées par une équation, car, sans cela, la droite pourrait passer par tous les points de l'espace, et la loi de son mouvement ne serait pas définie. Supposons donc que Ton ait

la fonction 9 est d'ailleurs complètement arbitraire, et sa forme particulière distingue les unes des autres les diverses surfaces cylindriques. Si Ton élimine a et /S entre les équations (1) et (?), on obtient

(3) y— bz=i[x- az);

c'est l'équation générale des surfaces cylindriques.

En différentiant cette équation par rapport à x, puis par rapport à v, on a

Ldz , , ,dz

x — b-gj=—av'[x—az)^

et en éliminant la fonction arbitraire <f'{x — az), on a, après une réduction évidente,

i , x dz ,dz

(4) aT* + bTr = l>

c'est l'équation différentielle de toutes les surfaces cylindriques dont les génératrices sont parallèles à la droite donnée. Elle exprime, comme on s'en assure bien facilement, que le plan tangent en chaque point est parallèle à cette droite.

Si l'on voulait éliminer a et b et obtenir une propriété commune à toutes les surfaces cylindriques et indépendante de la direction des génératrices, il faudrait différentier l'équation (4) par rapport à x, puis par rapport a y, et Ton obtiendrait

dx2 dxdy~~ ' dxdy rf)*2

et par conséquent

\dxdyj ~~ \dx\l WW

cette équation convient à toutes les surfaces cylindriques, mais elle convient aussi, comme nous le verrons, à une infinité d'autres.

203. Surfaces coniques. —Une surface conique est une surface engendrée par une

*)f> PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

droite mobile qui passe par un point fixe, a, /3, 7 étant les coordonnées de ce point,

les équations de la droite mobile sont de la forme

les coefficients m et n sont liés par une équation, car, sans cela, la droite pourrait passer par tous les points de l'espace et la loi de son mouvement ne serait pas définie. Supposons donc que l'on ait

la fonction <p est d'ailleurs arbitraire et sa forme distingue les unes des autres les surfaces coniques. En éliminant m et n entre les équations (1) et (a), on a l'équation générale des surfaces coniques

en différentiant cette équation par rapport à x, puis par rapport à y, on a

? \z-y)dx (z-7f

1 \dz , » dz , .

""(jr"'l?r=>/r-l»\(J""7)"^(r"p),

en éliminant <j/ [* ~ j •> on trouve, après des réductions évidentes,

(4) (*-«)£+Lr-P)^=(*-7):

c'est l'équation aux dérivées partielles des surfaces coniques dont le sommet a pour coordonnées a, /3, 7; elle exprime, comme on s'en assure bien facilement, que les plans tangents passent tous par le sommet du cône.

Si l'on veut éliminer a, |3, 7 et obtenir une propriété commune à toutes les surfaces coniques et indépendante de la position du sommet, il faut différentiel* l'équation [f\) par rapport à x, puis par rapport h y; on a ainsi

dz dz , r. d2z , . d2z

dz dz . s d2z . , d*z