LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

En supprimant les termes communs et éliminant le rapport ^-^ > on déduit de

ces équations

/ d7z y d*z d2z \dxdy) "~ dx7 ' dr2"

c'est l'équation déjà trouvée pour les surfaces cylindriques.

204. Surfaces de révolution, — Les surfaces de révolution sont engendrées par une ligne qui tourne, sans changer de forme, autour d'une droite fixe, de telle sorte que chacun de ses points décrive un cercle ayant son plan perpendiculaire à cette droite et son centre situé sur elle.

Soient

x = az-hp, y=bz + q,

les équations de la droite fixe qui sert d'axe à la surface. L'un quelconque des cercles peut être considéré comme l'intersection d'une sphère ayant son centre en un point arbitraire de la droite (par exemple, en celui dont les coordonnées sont a? = m, y = n, z = o), avec un plan perpendiculaire à la droite. Les équations de ce cercle sont donc de la forme

(x — mY+ [y — /i)24-23=R2,

a x ■+- by -+- z = k ;

il existe d'ailleurs une équation entre k et R, sans quoi le cercle pourrait passer par \m point quelconque de l'espace, et il n'y aurait pas de surface engendrée. Supposons donc

l'élimination de k et de R entre les équations (r) et (2) donne

(3) ax + by+z=z<t[(x — m)2-f- (r— »)*+- z2];

c'est l'équation générale des surfaces de révolution.

En différentiant cette équation par rapport à xy puis par rapport à y% on obtient

*+^= **'[(*— '"î'-K*'— nY+z2] [(r—») + sSi7.|" et en éliminant 9', il vient, après des réductions évidentes,

a (y — n) — b f x — m ) -4- ( >' — /* — bz ) -£- -f- ( az — a -f- m ) -f- = o .

c'est l'équation différentielle des surfaces de révolution; elle exprime que la normale rencontre Taxe. Si l'on suppose Taxe de la surface confondu avec l'axe des z , on a

et l'équation différentielle devient

* dx dy ' l'équation sous forme finie est, dans ce cas,

205. Surfaces conoïdes. — Une surface conoïde est la surface engendrée par une droite qui rencontre une droite donnée, et reste parallèle à un plan fixe.

Prenons pour plan des XY, celui auquel la génératrice doit rester parallèle, et soient x = mz, y =znz les équations de la droite qu'elle rencontre. La génératrice aura des équations de la forme

*=7» 7 = «.r-HP; pour qu'elle rencontre la directrice, on doit avoir

ny = <zmy -f- p,

en sorte que les équations de la génératrice sont de la forme

(1) 2 = 7» y — ny=*(x—my);

pour que le mouvement soit défini, il faut qu'il existe une équation entre a et 7. soit

en éliminant a et 7 entre les équations (1), (a), on aura l'équation générale des

conoïdes

/ y — nz \

en différentiant par rapport à x, puis par rapport a j, on obtient

dz f \ 1

dz dx

dx (x —

r— nz) ( 1 — m -y- )

mz)* ' \x — mz)9

, (1 — n-r-] [x — mz)-i-m-j- (y — nz) dz___ \ dy) K ' dy w ; , fy—nz\

dy (x — mz)2 \x — mz)9