LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

et en éliminant <p', on trouve, après des réductions évidentes,

/ \ dz , .dz

(x-mzîdï+(r-nz)dï = °;

c'est l'équation différentielle des conoïdes. Si l'on suppose que la directrice soit Taxe des z, on a m= o, n = o; l'équation sous forme finie devient

et l'équation différentielle

dz dz

206. Les équations dittérentielles des surfaces considérées jusqu'ici sont du premier ordre ; celles qu'il nous reste à étudier ont des équations différentielles du second ou du troisième ordre; pour les écrire plus simplement, nous adopterons la notation suivante, qui est très-habituellement employée dans les questions relatives à la théorie des surfaces.

L'équation d'une surface étant

z = i[x,y), nous poserons

dz __ (h __ #/vs d7z <ïiz-t

di"p' Jj"q' dx*—r' HxTfr — *' 77?~~" *

et par conséquent

dz =p dx-\- q dy, d'Z = rdx2-h 2 s dxdy -h ldy*y

dx ' dy dx ' dy

207. Surface engendrée par une droite qui rencontre une droite fixe.

Prenons la droite fixe pour axe des z; les équations de la génératrice sont de la forme

y=zyx, z = ax-hb.

Pour que cette droite engendre une surface déterminée, il faut que a et b soient des fonctions données de 7; en posant

tf = y(7), 6 = ^(7),

les équations de la génératrice sont

(1) 7 = 7-*\ z=xi{y)+){y)f

et l'élimination de 7 donne

c'est l'équation générale des surfaces considérées; elle contient deux fonctions arbitraires. Pour éliminer les fonctions <p et ty, on pourrait, conformément à la méthode exposée, former les dérivées de l'équation (a) par rapport à x et par rapport ky; mais il est plus simple et plus élégant de differentier les équations (i) en y considérant x et y comme variables et 7 comme constant. Cela revient à considérer sur la surface deux points infiniment voisins situés sur une même génératrice; on obtient ainsi

3 ) dy = 7 dx, dz = ? (7 ) dx.

Remplaçons, dans cette dernière équation, dzpar pdx 4- qdy, puis divisons par dx, en remarquant que, d'après les équations i'5), on a -/■ = 7 = - * on aura

Pour que les deux fonctions/? -+- q- et - dépendent Tune de l'autre, il faut et il suffit (73) que leur déterminant soit nul, c'est-à dire, puisqu'il s'agit ici de deux fonctions de deux variables, que leurs dérivées soient proportionnelles; l'équation i (\ ) équivaut donc à

dx dx

'■(j-+fî)"--(S)

c'est~k-dire

dy dy

ou, en réduisant,

s + fL +1

ty* -h 2$xy -+- rx2 = o ;

c'est l'équation différentielle des surfaces considérées: r, s, t, y désignent les dérivées du second ordre définies plus haut.

208. Sur/aces gauches à plan directeur. — On nomme surface gauche à plan directeur, la surface engendrée par une droite qui reste parallèle à un plan fixe.

Prenons pour plan des xy le plan fixe que l'on nomme plan directeur; les équations de la génératrice sont de la forme