UVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. 2H

a et ]3 étant des fonctions de 7 dont la forme détermine la surface particulière. On peut donc poser

et l'on voit que l'équation générale des surfaces gauches à plans directeurs est

(1) ^=*? (*)-+-♦(*); differentions cette équation en y laissant z constant, nous aurons

(2) dy=dxj[z),

d'ailleurs z étant constant, on a

o = pdx 4- qdyf et par suite

dy __ p

dx q

ce qui met l'équation ( 2 , sous la forme

P + (l<i'lz)=Q.

D'après cette équation, le rapport 2 est fonction dez; il est nécessaire et suffisant pour cela, comme nous venons de le rappeler, que leurs dérivées soient proportionnelles : on a donc

q dz dx dx^

g dy

dy c'est-à-dire

sq-tp q ou, en chassant les dénominateurs,

rq- — ipqs -h tp2 = o ; c'est l'équation différentielle des surfaces gauches à plan directeur.

209. Sur/aces dévebppables . — Nous définirons les surfaces développables comme l'enveloppe des positions d'un plan mobile. Nous avons déjà trouvé (1 12) que l'équation d'une telle surface s'obtient en éliminant a entre deux équations de la forme suivante :

(2) o = T?'(a)+rf (a) + F'(a).

Pour éliminer les fonctions arbitraires, differentions la première par rapport à x,

elle fournira, en ayant égard à la seconde,

en différentiant la même équation par rapport à j, on trouve, en ayant égard à la relation (a),

j- «t j- étant fonctions d'une même variable a, on peut éliminer a entre les deux équations (3) et (4), et Ton obtiendra une relation de la forme

dz v(dz\

c'est-à-dire, d'après notre notation habituelle,

Pour éliminer la fonction F, differentions l'équation ( 5 ) par rapport à x, puis par rapport à y, nous aurons

et par suite

rt = s-;

c'est l'équation aux dérivées partielles des surfaces développables.

210. Toute surface développable est le lieu des tangentes à une courbe que Ton nomme son arête de rebroussement. En prenant cette propriété comme définition, on peut être conduit k la même équation différentielle.

La tangente a une courbe quelconque a en effet pour équations

"-^eC-')'

dz

z et y étant des fonctions de x définies par les équations de la courbe. La lettre .r désignant ici un paramètre, remplaçons-la par a, et pour suivre l'analogie avec les problèmes précédents, remplaçons /, w, t\ qui sont les coordonnées d'un point de la surface, par x% y, z, etz et y par <p (a) et <|> (a); nous aurons

entre lesquelles il faut éliminer a et les fonctions arbitraires «p et ^.