LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

En différentiant les deux équations (a ) par rapport à x9 on trouve

et en éliminant -^ entre ces deux équations,

en sorte que -t- ne dépend que de a. On verra de même que -£- ne dépend que de «. On en conclura, comme (209), qu'il existe une relation de la forme

dx~* \dy)' de laquelle on déduira, comme on Ta déjà fait,.

211. L'équation précédente peut encore s'obtenir par une autre considération. Le plan tangent à une surface développable est le même tout le long d'une génératrice. Cherchons, en général, les conditions pour qu'un même plan tangent à une surface ait une infinité de points de contact.

L'équation du plan tangent au point dont les coordonnées sont x,y, z, est

*> — z=p[t — x)-Jrq{u— r); si x, y, z changent infiniment peu, pour que le plan reste le même, il faut que ^r- et -t- ne changent pas, et que, par conséquent, leurs différentielles soient nulles; on aura donc en même temps

° = 7û>dx + d*irxdr> ° = dx-Tydx+W r;

dr ^t en égalant les deux valeurs de -^-> il vient

dx* dy* \dxdjr)

A,insi donc, si un plan tangent touche une surface suivant une ligne continue, l'équation précédente sera satisfaite en tous les points de cette ligne. Mais si la surface est le lieu d'une série de lignes le long desquelles le plan tangent soit le même, ^i elle est en un mot l'enveloppe des positions d'un plan mobile, l'équation {%)

devra avoir lieu en un point quelconque de la surface dont elle est par conséquent

l'équation différentielle.

L'interprétation géométrique de l'équation ( i ) est d'ailleurs bien simple ; cette équation peut s'écrire, en effet,

r s 7 = V c'est-à-dire

dp dq

dx dx

cTp "~" dq ' dy dy

elle exprime par conséquent que les fonctions/? et q ont leurs dérivées proportionnelles, et par suite qu'elles dépendent l'une de l'autre : on a donc une relation de la forme

On voit par cette relation entre les deux coefficients de l'équation du plan tangent que, si l'on veut mener à une telle surface un plan tangent parallèle à un plan donné, le problème est généralement impossible.

212. Surfaces réglées. — L'équation la plus générale des surfaces engendrées par une droite mobile résulte évidemment de l'élimination du paramètre a entre deux équations de la forme

Z = Xff{a) -h«,

Diflférentions ces deux équations en laissant a constant; nous aurons

dz z= <p ( a ) dx ,

dy =^(oL)dx.

Mais on a

(3) dz = pdx H- qdjr;

la première de ces équations devient donc, en divisant par dx et remplaçant €-p-m par sa valeur^ (a),

différentions de nouveau en laissant encore a constant, nous aurons

(5) dp + dq$[a) = o, c'est-à-dire

(6) rdx + sdy 4- * (a) [sdx -+- tdy) = o,

ou, en divisant par dx et remplaçant ;r-par sa valeur,