LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. 2Ui

dà ffTérentions encore une fois en laissant toujours a constant, et remarquons que

l'on a

, d*z . rf3z , dr = -7— dx-\- , , dy\ dx> dx-dy *

ds = d*Z dx -+- d*Z d y • dx*dy dx dy* * '

dt = -j-A- dx-h -r^ dy\ dy*dx cri3

i l viendra

/ di z . d3z , \ ... / d3z . dsz . \

€n remplaçant ~- par sa valeur <|> (a) et en éliminant ensuite ^ (a) entre les équations (7} et (8), on obtient l'équation différentielle des surfaces réglées qui est du troisième ordre.

213. Surfaces canaux. — On nomme surface canal la surface enveloppe des positions d'une sphère de rayon constant dont le centre parcourt une courbe quelconque. On a vu (113) que l'équation d'une telle surface s'obtient en éliminant le paramètre a entre les deux équations

Pour éliminer les fonctions arbitraires <p et i|>, différentions l'équation (1) par rapport à x en laissant/ constant, puis par rapport à y en laissant x constant. Dans ces deux difterentiations, les termes provenant de la variation de a disparaîtront à cause de l'équation ( 2 ).

Nous obtiendrons ainsi

(3) (*-«)gj+*-+(») = o,

on en conclut, en remarquant que <p (a) est nécessairement une fonction de «J> ■ a ;,

F étant une nouvelle fonction arbitraire dont la forme dépend de celle de 9 « ; et de

celle de ^ (a). Mais les équations (3) et (4 )> en ayant égard a (i), donnent

Z — ar=-

en sorte que ( 5 ) devient

Jz r~ dz

(6) 0(tx

+&fw>+m+(%y+r\

Pour éliminer cette fonction F, il faut différentier l'équation précédente par rapport à x9 puis par rapport a y, et Ton trouve, en éliminant F entre les deux équations obtenues, et adoptant les notations précédentes,

(7) a*{rt — s*) + a>Ji +^-j-?i[(i -+- q>) r-2^-h(i-f/) t]+ (i +p* + q*)* = o.

L'équation ( 6 ) exprime une propriété géométrique de la surface qui est une conséquence immédiate de la définition; en effet, x -f- , % p =,

y -h . ^ =i sont les coordonnées du point obtenu en portant sur la normale, y/i+pt-t-q2 r

à partir de chaque point de la surface, une longueur égale à a. La relation établie entre ces deux coordonnées exprime que le lieu des points ainsi obtenus est une courbe et non une surface, comme cela aurait lieu si Ton faisait une telle construction sur une surface d'autre nature.

Introduction remarquable d'une équation différentielle dans un problème

d'arithmétique.

214. Considérons deux nombres quelconques m et n, formons-en deux autres mK et 7i, qui soient respectivement la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique entre les deux premiers; en d'autres termes, posons

n, = sjmn; opérons sur mx et ni comme on l'a fait sur met n, et posons

en continuant indéfiniment ces opérations, on formera une série de nombres /wJf