LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

/*,, m4, n4,..., qui, comme on s'en assure très-aisément, vont sans cesse en se rapprochant; on demande quelle est la limite vers laquelle on est conduit par de telles opérations indéfiniment répétées.

Ce problème curieux a été pour la première fois résolu par Gauss. Tout récemment, M. Borchardt Ta rattaché élégamment à une équation différentielle à l'aide des considérations que nous allons faire connaître.

Soit w la limite cherchée ; *> dépend évidemment de m et de n. Posons donc

*=/(m,/i), il est clair, par la définition de u, que Ton a aussi

de plus, si m et n étaient multipliés par un même nombre k9 les nombres successivement déduits m,, nt, m.2, n2,..., et par suite w lui-même, seraient multipliés par k; &> est donc une fonction homogène du premier degré de m et de n, et Ton a par conséquent

w == mf ( — ) = ni,/f — )

Posons — = x, — = #,,..., et désignons la fonction/! — 1 par -^/(~i) étant de même désigné par 4' °n a évidemment

m iy\

* nt\ 1 -+• x

xt étant lié à x par Téquatior

Xx = .» . ?

on déduit de l'équation (2)

dxx

1 — x (Xi — x])(i-hxY

dx

et de (1)

2 2 dy\ dxx

dx

(i-har)' ^, (1 -h x)dxx dx

Remplaçons t-1 par sa valeur, et chassons le dénominateurs — x%, nous aurons

(.^£.îîl£=l!^H.(.+-)|..-.g.

on en déduit, en prenant les dérivées des deux membres par rapport à ce,

v dx i -+- x ix (x — i ) dy\ dxt , . . dr,

(/x- ' a.r i-j-o: «x, dx dxx

-h,+*> dï> a-

D'après la valeur de -^ on voit aisément que les deux termes qui contiennent -p

en facteur se détruisent, et que, en retranchant ocy aux deux membres, cette équalion peut s'écrire

rf.(jr — x

xr"(.+x)^L ^ x,r,J'

Si, dans celle équation, a; se change en x„ xK se changera en x}, puis x, étant remplacé par xît x.2 le sera par xt, et ainsi de suite; si donc on pose

^ xr=«cr),

on aura

or si n grandit sans limite, i — xn tend évidemment vers zéro; on a donc

et y satisfait, par conséquent, à l'équation différentielle

Sans pouvoir suivre ici les conséquences de ce résultat, nous avons pensé qu'une analyse aussi remarquable ne serait pas déplacée dans un chapitre consacré à la formation des équations différentielles.

Équations différentielles totales.

215. Les équations différentielles auxquelles satisfont les fonctions de plusieurs variables indépendantes ont lieu entre les fonctions elles-mêmes et leurs dérivées partielles. On est quelquefois conduit à considérer une autre sorte d'équations qui ont lieu entre les différentielles des variables indépendantes et celle delà fonction qui en dépend. On a vu (57) que, z étant une fonction de x et de y9 il existe une équa-