LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

tion du premier degré entre les différentielles dx, dy, dz dont deux restent arbitraires et déterminent la troisième ; une équation de cette forme

P/te + Qrfv+Rrf2 = o,

où P, Q, R sont des fonctions données de x, y, z, se nomme une équation différentielle totale.

11 va une différence manifeste entre l'équation différentielle (i) et une équation aux différentielles partielles. Dans l'équation (i), en effet, dx et dy sont arbitraires, il est permis de les supposer successivement égaux à zéro, et Ton aura ainsi

dL— __r <*! — 9.

~dx~~ R' rfr~~ R;

l'équation (i) fait donc connaître, a elle seule, les deux dérivées partielles -4- et -j^*

«ntre lesquelles une équation aux différentielles partielles établirait seulement une Telation.

216. L'introduction des dérivées partielles du premier ordre d'une fonction de deux variables permet, comme on l'a vu (197), d'éliminer une fonction arbitraire; la recherche d'une équation entre les différentielles permet seulement l'élimination d'une constante.

Soit F (x, y, z, C) = o une relation entre x, y, z et une constante arbitraire C. On en déduit, entre les différentielles dx, dy, dz, la relation

dF . dF . dF f dx dy * dz

qui est la seule à laquelle ces différentielles soient assujetties; le résultat de l'élimination de C entre cette équation et la proposée est une équation parfaitement déterminée de la forme

P dx -h Qdy -4- Rdz = o.