Une équation de la forme

(i) Vdx + Qdy-hRdz = o

ne correspond pas toujours à une relation entre x, y et z. Il est facile de voir que les fonctions P, Q, R doivent remplir, pour qu'il en soit ainsi, une condition nécessaire. De l'équation fi), on déduit, en effet,

W dz = -^dx-^dy,

2i0 PREMIÈRE PARTIE. - C4LCUL DIFFÉRENTIEL,

et par suite,

(3) donc

dx~ R' dr~ R:

^R dR

dy dx

et par suite, en remarquant que P, Q et R contiennent z qui est supposé fonction de x et de y,

dy dz dy dx dz dx% en remplaçant -y- et -£- par leurs valeurs (3), effectuant et réduisant, on en déduit

et cette équation doit avoir lieu pour toutes les valeurs de x, y et z qui satisfont a la proposée. Deux cas peuvent se présenter : ou l'équation (5) est identique, et alors la condition est évidemment remplie ; ou elle établit entre x, y et z une relation qui doit être la relation cherchée elle-même, et si l'équation (i) n'est pas une conséquence de l'équation (5), il faut conclure qu'elle est impossible.

Soit, par exemple, l'équation

(6) (6xy*z — 5 yz>) dx -h (5 x\yz — 4xz*)dy + [$x2y*—6xyz*)dz = o;

en formant l'équation (5), on voit qu'elle est identique. La théorie précédente permet alors de se demander à quelle relation entre x,yetz convient l'équation (6). Soit encore

(A) (z —y) dx-hxdy+ [y — z)dz = o,

l'équation (5) devient alors

Or on en déduit

et comme les valeurs (B) et (C) de z et de dz rendent l'équation (A) identique, on doit en conclure que l'équation (A) est possible et qu'elle a pour solution unique