LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES
Soit enfin
z dx — ydy-\-y ck = o ;
l'équation (5) devient, dans ce cas,
et comme z = o n'est pas une solution de la proposée, celle-ci est impossible et ne correspond a aucune relation entre x, y et z.
218. Les résultats précédents peuvent être généralisés. Une équation entre quatre variables x, y, z, u et une constante arbitraire, donne, par l'élimination de la constante, une équation différentielle totale de la forme
(j) Vdx -f- Qdy-hRdz -f- Sdu = o.
Mais il existe entre les fonctions P, Q, R, S, des relations nécessaires. Si, en effet, dans l'équation (i) on considère u comme une fonction des variables indépendantes x, y y z, et que l'on remplace du par sa valeur,
, du j du , du , du = -7- d x -4- -y- dv -4- -9- dz.
dx dy J dz
dxf dy, dz, étant arbitraires, leurs coefficients devront être nuls, et l'équation (i) entraînera par conséquent les trois suivantes :
P-f- S -r- =o, dx
n , cdu dy
dz
En résolvant ces équations par rapport aux dérivées partielles de // qui y figurent, et écrivant que l'on a
d /du\ d idu\ dy \dx) ~~ dx \dy)
d (du\ __ jl (du\ Tz\dy) - dy\dz)'
jL(^\ — sL(^h\
dx \dz) dz \dx) '
on trouve, en ayant égard aux valeurs de -t-> -p» ^> et en supprimant les termes
iîi PREMIERE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,
qui se détruisent :
et ces trois équations doivent être satisfaites identiquement pour que l'équation (i ; puisse se déduire d'une relation entre x9 y, z, u et une constante arbitraire.
219. Lorsque p variables xtf x29 ..,xp sont liées par n relations, contenant 2/1-1 constantes arbitraires, on peut éliminer ces constantes entre les équations proposées et leurs différentielles totales; le résultat de cette élimination est évidemment de la forme
( i ) X, dxx -h X, dx7 -+- . . . -f- X^ dxp = o.
Réciproquement, si une telle équation est donnée, et que l'on y considère/? — n des variables comme fonctions inconnues des n autres, on pourra écrire immédiatement n équations qui sont la conséquence nécessaire et en quelque sorte la traduction de l'équation (i). Si par exemple #,,<r2,...,#p„ sont fonctions de #,,„+,, a>-w+2 , . . . , xpy on aura
. dx\ . dxx j dxy ,
(,x> = £— ", dx"-^' + d^Z, dx->"+ •' + dTrdx><
et les autres différentielles s'exprimant de même, on pourra, après les avoir remplacées par leur valeur, égaler à zéro les coefficients des n différentielles arbitraires dacp„+t , dxp-n+2i">dxp* on obtiendra ainsi n équations entre p — n inconnues. Si n est égal ou inférieur a /> — /*, il n'existe aucune condition nécessaire entre les coefficients X,, X2,..., Xp; mais, dans le cas contraire, ces fonctions sont assujetties à des conditions sur lesquelles nous aurons à revenir.
1. Éliminer les constantes a et 6 el former l'équation différentielle du second ordre à laquelle satisfait la fonction y définie par l'équation
xy = aex -h be~*. 2 4 , + lL
2. Éliminera, ft, c, d et former l'équation différentielle du troisième ordre à laquelle
