ÉTUDE GÉNÉRALE DES SÉRIES

■ Définitions.

220. L'ne série est une somme composée d'un nombre illimité de termes; elle est convergente lorsqu'en y considérant un nombre de termes de plus en plus grand et les ajoutant dans Tordre même où ils sont écrits, la somme obtenue s'approebe indéfiniment d'une limite déterminée.

Lorsqu'une série n'est pas convergente, elle est dite divergente.

Les termes d'une série peuvent se succéder suivant une loi quelconque, être positifs ou négatifs, réels ou imaginaires, mais la condition d'être en nombre illimité exige que cette loi soit connue et permette de les calculer successivement, puisqu'il est impossible, comme cela a lieu pour un polynôme, de les écrire tous effectivement.

La formule algébrique qui exprime un terme en fonction du rang qu'il occupe se nomme le terme général de lu série.

Quoique, d'après la définition, la série soit précisément la limite vers laquelle converge la somme des termes, on dit très-babituellement que l'on fait la somme d'une série lorsque l'on parvient à calculer la valeur de cette limite, et cette locution légèrement incorrecte est tout a fait consacrée par l'usage.

QueUjues exemples de séries.

221 . Nous commencerons par donner quelques exemples fort simples de séries dont la somme est connue. La remarque suivante peut en fournir un grand nombre.

Appelons a,, aa,..., a„ des nombres quelconques assujettis a la seule condition que a„ soit infiniment petit lorsque n est infiniment grand; on a évidemment

et cette identité contient un grand nombre de séries.

Soient, en premier lieu, a, = i, a2= x, as= a?2,..., an = oon"i9 x désignant u^^^, nombre plus petit que l'unité ; la formule ( i ) devient

(?.) I = (i — jf) (i -h # + #*-+-... -h #"-+-...),

c'est-à-dire

I — JF

formule importante et connue dès les éléments.

Soient encore a, = i , a2 = -*••> a„ = ->•••; la formule ( i ) devient