CC C
a,= arc tang-? a,= arc tang . > as= arc tang r ^«-i
elle devient
c bc bc
arc tang - = arc tang — n 4- arc tang , — —-rr, — * — tt— ■ — ,
&a &«(a4-fr)4-c* * {a-\-b){a-hib)+ c7
bc -h arc tang
(a-\-ib){a-\-5b) + c7 En supposant 6=2, a = 1 , c = i , il vient
j = arc tang -4- arc tang rr4- arc tang -^ H- . . .-h arc tang — 24-. • •; en supposant a = 1 , 6=1, c = 1 , on trouve de même
7 = arc tang ^ -h arc tang --1- arc tang h. . .-h arc tang— h- . • .
224. Aux formules précédentes, dont la démonstration est immédiate et résulte **e I a. simple décomposition de chaque terme en deux parties, nous pouvons adjoindre la Suivante: quoique de forme différente, elle se démontre de la même manière. Od a ,
- = 2 col 1 x 4- tang x 4- - tang -jp + 7 tang 7i4-ô tang - x 4- — x 2244^"
^°**sidérons, en effet, l'identité
tang x — cot x — 2 col 2 x.
On en déduit
- tang- = -cot cqtx,
I JU I JL I ^
-lang?=?col?--col-, ilang|=icoi|-^colf,
— tang— = — cot col — , •>
et en ajoutant ces diverses équations,
tang-* -h i tang f + ^ tang J -H • • . + ~ tang ^ = 1 cot ~ — 2 cot 2*.
Si Ton fait croitre n indéfiniment, cot — égal à peut être remplacé par — : le
premier terme du second membre a donc pour limite-? et l'on a
2 cot 2x = tang* H- - tang — h? tang-r -4-. . .H-— tang — h ?
ce qui est précisément la formule annoncée.
225. La somme d'une série s'obtient quelquefois en décomposant chaque terme de manière à transformer la série proposée en d'autres plus simples et dont les sommes sont connues.
C'est de cette manière que Jacques Bernoulli a démontré les formules suivantes, déduites ingénieusement par Leibnitz de la théorie de l'intérêt composé, et qui sont des cas particuliers d'une formule beaucoup plus générale et fort importante que nous aurons à étudier plus tard. On a, quel que soit le nombre x positif ou négatif, mais en valeur absolue inférieur a l'unité,
=i-t-x-hx2-\-x'-h. . .-4-*"+ . . .,
== i-f 3j + 6jc24-iojt - -f- . . . -h — - — ^ ; x" -+- . . ,,
- = ! -\-.\X -hlO^'-h 20^' + . . .-h V ^ JK * X*+-
(i — xy ~f "• 6
