LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

La première de ces séries est bien connue. Considérons la seconde et posons

S=i-4-2^-f-3^r2-|-4^H-...-f-(/i-hi)jr',-4-

Si Ton fait

B = jc-h x*-\-x* -+-. . .,

on a évidemment

S=A-hB-HC-+-D-f-...=- ' X **

c'est-à-dire

De même, si l'on pose

et que l'on fasse

D = ;r3-+-. • ,-f-(/i — 2)xnH-. . . ,

on aura évidemment

c'est-à-dire

! -\- X -{- X7 -{- . . .-hJTn-|-. . . I

Nous ne pousserons pas plus loin ces indications relatives à des théorèmes qui doivent être obtenus plus loin sous une forme beaucoup plus générale; bornons-nous a inscrire ici, comme facile à démontrer par un procédé tout semblable, la formule

i /i/i-hi , n (n-h 0 (w-f-a) ,

dans laquelle n est un nombre entier quelconque, et x un nombre positif ou négatif moindre en valeur absolue que l'unité.

i.TO PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

220. La même méthode peut s'appliquer à la sommation de la série suivante :

S = ï-j-4*-+-9«rî-J-,6*3-K • . -f- (/i -H i)2^rwH-

Si Ton pose

on a évidemment

&=A-hB-+-C-K,-f-I)-h.. • = 1 1 h...=

I X I X I JT I X

mais le numérateur

peut s'écrire de la manière suivante :

H-jr-K^ra-hJC3-K. . .-f- a(ar -f- 2jc3+3^+. ■ -)= h :

i — x ( i — jrj"

et l'on conclut enfin