LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

arguments les plus simples et les plus concluants que Ton puisse présenter sur cette question qui, d'ailleurs, n'est plus douteuse aujourd'hui pour personne. Considérons la série

iii i

e* ^désignons-la par S ; nous aurons

°*^* s ce qui revient au même,

F* casons

2 6 12 ll(lH-l)

on aura évidemment

S=A4-B-hC + D + ...; d'un autre côté, on a (221 )

et ainsi de suite indéfiniment; on a donc

«iii 2 3 4

et en comparant cette valeur avec la précédente, on serait conduit à conclure

résultat absurde. Le raisonnement précédent serait cependant irréprochable si la série désignée par S était convergente; on peut donc affirmer qu'elle ne Test pas, et l'on voit en même temps quelles erreurs peut entraîner l'emploi des séries divergentes

Théorèmes relatifs à la convergence des séries à termes positifs.

229. Lorsqu'une série a ses termes réels et positifs, la condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit convergente est que la somme, quelque loin qu'on la prolonge, ne puisse pas croître indéfiniment. Il est clair en effet que si dans la somme

on prend un nombre de termes toujours croissant, les résultats obtenus vont en

augmentant, et si ces résultats ne peuvent pas dépasser toute limite, ils approchent nécessairement, autant qu'on veut, du plus petit des nombres qu'ils ne peuvent pas surpasser.

230. Lorsqu'une série à termes positifs est convergente, si l'on diminue ses différents termes, on obtient une série nouvelle qui est aussi convergente, car la somme des termes de la nouvelle série ne peut évidemment pas croître sans limite.

On déduit de cette remarque la démonstration du théorème suivant, qui est d'un fréquent usage.

Théorème. Lorsque dans une série à termes positifs

I/o -h Mi -+- u, -+- . -f- um -+- . . .

le rapport --d'un terme au précédent est, pour toute valeur de w, inférieur à un*.

certaine limite moindre que l'unité, la série est convergente. Supposons, en effet,

W/„ 1/,,-m M/M2V- «tant positifs, on déduit dr ces inégalités //„+, < /»//„. uH+i <; A 2 uH, nh+. <; A ■ «„. . . ;

IJVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. m

les termes de la série proposée sont donc moindres que ceux de la progression convergente

I">3*i^ conséquent la série est elle-même convergente.

231. La comparaison d'une série à ternies positifs avec une progression décroissante conduit à un autre caractère de convergence. Considérons la série

Si le ternie général un est moindre que le terme correspondant Aq" d'une progression géométrique décroissante, la série sera convergente; or la condition

w„<A</" équivaut à

mais y/ A ayant pour limite l'unité lorsque n augmente indéfiniment, cette condition

sera évidemment remplie pour les valeurs de n supérieures à une certaine limite,

pourvu que q surpasse la limite vers laquelle converge ù?9 ou lorsque cette limite

n'existe pas, pourvu que q surpasse le nombre k auquel cette expression reste constamment inférieure. Si donc il existe un tel nombre qui soit moindre que l'unité, on pourra former une infinité de progressions convergentes dont les termes seront, a partir de celui d'un certain rang, supérieurs a ceux de la série proposée, et cette série sera elle-même convergente. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Si le terme un de rang /i+i, dans une série à termes positifs, est tel que V exprès-

sion unn reste, pour des valeurs suffisamment grandes de n, constamment inférieur à un nombre k moindre que V unité, la série est convergente.

Les deux règles précédentes n'apprennent rien dans le cas où le rapport —et l'expression unn tendent vers l'unité lorsque n augmente. Dans ce cas, il peut

y avoir convergence ou divergence, et pour décider la question, il faut recourir à d'autres règles.