On démontre facilement que la série

déjà considérée (228), est divergente. Il est impossible, en effet, que la somme de ses termes s'approche indéfiniment d'une limite déterminée, car en s'arrêtant à un

terme quelconque -* la somme des n suivants

est composée de n termes, tous plus grands que — et par conséquent cette somme

est plus grande que -; quelle que soit donc la somme déjà obtenue, on peut l'accroître de plus d'une demi-unité, donc elle augmente indéfiniment sans avoir aucune limite.

D'après cela, toute série à termes positifs

dans laquelle le produit nu„ ne décroît pas indéfiniment lorsque n augmente, est nécessairement divergente. Supposons, en effet, qu'à partir d'une certaine valeur de n, on ait constamment

nuH > /» , £ étant un nombre fixe différent de zéro; on aura par suite

(«■flj«N^>/«,

et les termes de la série proposée sont plus grands que ceux de la suite divergente

n n -+- 1 n -hp

ils ont donc une somme infinie.

233. La réciproque du théorème précédent n'est pas exacte. Une série telle que le produit nu„ tende vers zéro lorsque n augmente, n'est pas pour cela nécessairement convergente. On peut même démontrer, et c'est un théorème bien remarquable dû à Abel, qu'il n'existe aucune fonction y (/i) telle que toute série à termes positifs

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