LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

soit nécessairement convergente si u„<p (n) tend vers zéro quand n augmente, et nécessairement divergente dans le cas contraire.

Pour démontrer cette proposition, remarquons que si la série à termes positifs

m„ 4- Mi -+- '/ï-h . • . -4- m» 4- . . . est divergente, la suivante

M, M: //s Un

m. m#4-m, «,4-Wi4-«a «• 4" Wi 4-. • -4- "«-.

Test aussi. On sait en effet que l'on a. (44) pour toute valeur positive de .r,

par suite,

/(W.4-Mi4-. . .-h Un) — /(«,+ «, + • . .4-M«-i)

et en faisant successivement /* = i, w = a,...,

/(w.4-«i) — /m«<— , /( m„4- m, 4- «i ) — /(tfo4- M,) <

et en ajoutant ces inégalités,

Si donc w0 4- w< 4- . . . 4- un augmente sans limite avec n, il en est de même à fortiori du second membre de l'inégalité, et la série dont ce second membre forme les n premiers termes est divergente.

Cela posé, soit, s'il est possible, <p (n) une fonction de n, telle qu'une série quelconque à termes positifs

Md 4- m,4-m24-. . .4- m, 4-. . ..

soit convergente ou divergente suivant que <p (n) . un tend ou non vers zéro lorsque n augmente ; alors la série

sera divergente, et la série

*w^7) *(3,[?frj + ?F)J ?(4)kïïJ+^?73)]

sera convergente ; car, dans la première, le terme de rang n multiplié par f [n) donne pour produit l'unité, et dans la seconde, à cause de la divergence de la première série, le produit analogue tend évidemment vers zéro : mais, d'après ce qui a été dit plus haut, la série (i) étant divergente, il doit en être de même de la série (2), et l'hypothèse qu'il existe une fonction a (n) remplissant la condition admise implique contradiction.

234. Quoique les séries à termes réels et positifs ne forment qu'une bien petite portion de celles que les géomètres ont à considérer, on s'est occupé souvent des conditions de leur convergence, et nous devons adjoindre aux théorèmes précédents quelques autres résultats intéressants auxquels leur étude a conduit.

Théorème. Lorsque dans une série à termes positifs

chaque terme est moindre que le précédent, la série (A) et la suivante

(B) ut-h ana+ a> ua7-\- a3 uai-{- . . . -f fl"«a«+...,

sont en même temps convergentes et divergentes, quel que soit le nombre entier désigné par a. Supposons d'abord que la série (A) soit convergente, désignons-la par S; on aura

Mi=Mi,

aila = Cllla ,

ces inégalités sont faciles à établir. Considérons par exemple la dernière de celles qui sont écrites, les termes de la série (A) allant par hypothèse en diminuant, le second membre est plus grand que si tous les termes de la parenthèse étaient remplacés par ua», et par suite plus grand que

a {an-