LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

où que

a»(a — i)uaM,

et à fortiori, puisque a est entier, plus grand que a" uan.

En ajoutant les inégalités (C) on obtient, en remarquant que les indices se suivent sans interruption dans le second membre,

et comme la série dont les a" premiers termes figurent dans le second membre est par hypothèse convergente, le premier ne peut pas croître indéfiniment et la série (B) est convergente.

Admettons, en second lieu, que la série (A) soit divergente, nous écrirons les inégalités suivantes

( a - i ) a» uaH > uaH -f- uaH + x -h ... -h uaH+> , ,

qui toutes sont évidentes si Ton a égard à ce que les termes w,, w2, w3M.., vont par hypothèse en diminuant.

En ajoutant les inégalités précédentes qui ont toutes lieu dans le même sens, on en déduit

(fl-.)(flMfl+fl'MflJ-f-fl3MûJH-.,,4-fl''^i>wft+«(l+l-f... -htfrt*-H,;

le second membre croissant par hypothèse indéfiniment avec nf il en est à fortiori de même du premier, et la série (B) est, comme nous l'avions annoncé, divergente.

235. Cauchy, qui le premier a fait connaître le théorème précédent, s'en est servi élégamment pour prouver que la série

est convergente ou divergente suivant que l'exposant positif //. est plus grand ou plus petit que l'unité. 11 suffit, en effet, d'appliquer à cette série le théorème général qui précède, en y supposant a = a. On voit alors qu'elle est convergente ou divergente en même temps que la série plus simple

c'est-à-dire

or cette série est une progression géométrique de raison ( - j > convergente si 4a

surpasse l'unité, et divergente dans le cas contraire : la proposition est donc démontrée.