LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉK1E

Si /x est égal ou inférieur à l'unité, nous supposerons a = i , et, par conséquent, la moindre que l'unité; ç„ est alors plus grand que

c'est-à-dire plus grand que le terme général d'une série divergente; la série ;B et par conséquent la série (A) est donc dans ce cas divergente.

On verra d'une manière toute semblable que les séries qui ont pour termes généraux * -> etc., sont convergentes si u

M.lfi.l.lfi.(l.l.ln)'' a. In. I. Ira. 1.1.1/1.(1.1.1. lu)'' *

est plus grand que l'unité et divergentes dans le cas contraire,

Remarquons seulement que les logarithmes des nombres négatifs étant imaginaires, les premiers termes de ces séries ne sont pas réels, mais on peut les remplacer par des nombres arbitraires sans changer les conditions de convergence.

238. La considération des séries précédentes a conduit à des règles qui peuvent être quelquefois employées utilement pour prononcer sur la convergence d'une série à termes positifs. Soit une série

il est clair par ce qui précède que s'il existe un nombre p plus grand que l'unité, et tel que, pour de grandes valeurs de /*, on ait constamment

la série est convergente. Si, au contraire, il existe un nombre fx plus petit que l'unité et tel que, pour de grandes valeurs de /*, on ait constamment

la série est divergente.

Or l'inégalité ( i ) équivaut à

et par suite à

ou encore a

ainsi, -p aura lui-même l'unité pour limite, et par conséquent la troisième règle

servira précisément lorsque les deux précédentes n'auraient rien pu apprendre.

La série des règles analogues peut se continuer indéfiniment, mais les cas où elles peuvent s'appliquer deviennent de plus en plus rares, et il ne semble pas nécessaire de nous étendre davantage sur ce point.