Considérons, par exemple, la série

V23 v/34 yjnn+x

le rapport d'un terme au précédent a pour limite l'unité.

En posant u„ = „ > on a

un n 4- 1

et la limite de ce premier rapport est l'unité. On a ensuite

\.\n wl.l/i' la limite est zéro. La série est donc divergente.

Règle de Gaiiss.

242. Gauss a donné dans l'un de ses Mémoires une règle de convergence pour les séries à termes positifs, qui, sans être aussi générale que les précédentes, s'applique à une classe nombreuse et importante de séries. La démonstration donnée par l'illustre auteur est d'ailleurs tellement élégante, qu'elle mérite d'être reproduite pour elle-même.

Soit une série

(A) M, -+- II, -h.. , + Un-\-

Supposons que le rapport ^^ s'exprime par une fonction rationnelle di

nombre n des termes qui précèdent un9 en sorte que l'on ait

^ 1/,-h M'-h Ait*-' -+• Bnx~ 'J -h . . .

fin ~> • v...^—1 i k~*-~'j i

n -t-an -{-on -+- . . .

Ce rapport tendant évidemment vers l'unité, la série n'est pas de celles auxquel la règle (230) soit applicable. Le théorème de Gauss est le suivant :

Si la première des différences A — a, B — bf . . . , qui ne s'évanouit pas est posit les termes croissent avec n, et la série est divergente.

Si A — a est négatif, pour prouver que un tend vers zéro, il suffit de considérer

la série

ii ii

M, li2 Um Ww+I

le rapport d'un terme au précédent sera

un n 4- an -+- . . .

nA-hAnx 'h-...

on en conclut, d'après ce qui précède, que — croît indéfiniment, et par suite un tend

un

vers zéro.

4° 5/ Von aA = a, les termes de la série tendent vers une limite déterminée qui n est ni zéro ni V infini.

Supposons d'abord que, A étant égal à a, la première des différences A — a, B — é,... qui ne s'évanouit pas soit positive; soit h un nombre entier tel, que l'on ait

/i + 6— B>i; posons

Dans la série dont le terme général est v*, le rapport d'un terme au précédent es— exprimé par

«W. = iw, ( n' - if = n^7h + A»***- + (B - h) n^h~* ^ Vn Un nh n^h -h A nx^- l + bn*+2h-2 4- . . : '

et comme par hypothèse on a

le terme général vn diminue lorsque n augmente; mais, en vertu des équations (3^1 u„ est moindre que t„ en valeur absolue : et puisque vn diminue, il est impossible que un augmente sans limite, et comme ce terme est croissant avec n, il converj nécessairement vers une limite finie.

Si la première différence qui ne s'évanouit pas est négative, on pourra appliqu le raisonnement précédent à la série

iii i

M. Ui M3 UH

et les termes de cette série tendant vers une limite finie, il en est de même de leu *"^ inverses u{ , i/2,..., un.