LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Si les différences A un , Aww+I, Aaw+2, qui sont toutes négatives, vont en diminuant en valeur absolue, ce qui a lieu dans un grand nombre de cas, la série placée entre parenthèses est de même nature que la proposée, et sa valeur complète est moindre que son premier terme, en sorte qu'en prenant

(4) S = su+-uft,

Terreur commise est moindre que - Au,,. Si Ton avait adopté la valeur

Terreur commise eût été moindre que un+t. A uH étant négatif, on voit qu'il faut préférer la formule (4) à la formule (5) toutes les fois que

Atffl<a»+I,

c'est-à-dire

tf«<3«»+,.

Cette relation aura toujours lieu pour les séries peu convergentes, dont les termes décroissent lentement.

On a trouvé

(6) S = Aft +--/*„ (A*/„ — A«1+1 4- AWS4; . ;.

Cette équation peut s'écrire

(7) S = .*„-»- - u„ AM„-h -(*"«- — AM,M.-t- M(,^ . . .);

or, en vertu delà relation A2u„ = Aw/i+, — Ai/„, les formules (6) et (7) peuvent s'écrire de la manière suivante :

(8) S = sn-h - UH -+- - (Aa un 4- *'</,,+, 4- A7*/,h-< 4-...) *

(î)) S=5,-H - M„ Ml* (à'tiH+t + a*«,+,+.m:.

et, en formant la demi-somme des deux expressions de S .

S = sn -h - l(ti - - \ M„N-f- 7 ( &uH — A1 </„+, -h A2 //^, — A- //„, . . . ).

Si les différences A2 un , A2 un+{ , A2 w^.2, . . . , sont de même signe et vont en décroissant, la série entre parenthèses sera de même nature que la proposée, et, en la négligeant tout entière, l'erreur commise sera moindre que son premier terme. On pourra donc prendre

L'erreur commise étant moindre que 7 A2i/n, la formule

peut s'écrire

S = 5n-f- - W„ 7 AM„ — 7 (A3M„-f- A3!/,^, -+-...)»

et de même l'équation (9) peut être mise sous la forme

S = i,+ -«a-^Awfl + ) \>un -+- 7 ( *'«„+, -h A1 W.+, -4-. . . ),

et, en prenant la demi-somme de ces valeurs de S,

S = #;+ - «„ — 7 Au, + 5 A'tfn— i-(A3//M — A*!!^, -+-A»il(Hl,H-.. .)• 24^4

Si les différences As un , A* w/l+( , . . . , sont de mêmes signes et décroissantes, la série entre parenthèses sera, comme les précédentes, plus petite que son premier terme, et en prenant

l'erreur commise sera moindre que gA3*^.

Le même raisonnement peut se répéter indéfiniment, et Ton peut écrire

S = Sn -h - "„ - 7 Ail. 4" 77 tfltn £ VliH H-. . • — AF-'W. ,

l'erreur commise étant moindre que ^àpun9 pourvu que les valeurs absolues des

termes de la série aient leurs différences d'ordre inférieur à p de mêmes signes et décroissantes.

Soient, par exemple,

o III

on a dans ce cas

//„=-> Att„=— v,A2£/„ =

(n + i)(n + 2)(« + 3) n.(n + i)(ii+2) /i.(n + i)(/»+2)(n + 3)

Asw.= —

/i (in-i)(/iH-a)(in-3)(/!-h4) 2.3.>.5

« (»-Hi)(u-h2)(n-h3)(»H-4)(m-5j

Les conditions admises dans la démonstration précédente ;sont donc remplies; en faisant n = 1 1 , on trouve