II II.)?. I 1 . I 2 . I 3 I I . I 2 . I

A1!/. = ? ; =. * à*Um —

n.i2.i3 14. i5 " 1 1 . 12. i3. 14. i5. 16 et la formule

donne

La série représente, comme on le verra, le logarithme népérien de 2, et les sept décimales sont exactes.

Méthode de Stirling.

253. Nous devons citer encore la méthode proposée par Stirling en 1717 pour la sommation des séries, et qui consiste à transformer chaque terme de la série proposée en une série indéfinie de telle forme que les termes correspondants des séries successives puissent être facilement sommés. Il arrive souvent que par cet artifice une série est transformée en une autre qui converge bien plus rapidement et dont le calcul numérique est par suite beaucoup plus facile.

Les séries auxquelles Stirling chercha à ramener toutes les autres sont les suivantes (222):