LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Si Ton suppose a = e, la formule devient

X* x% xn

En bornant le développement à son premier terme, on a

a'= \-\-x\aa6x.

Si Ton pose a=-i^ = -i on déduit de là, pour le logarithme d'un nombre -, une expression qui sera utilisée plus tard,

281. Développement de 1 (r -+- x). — La formule de Maelaurin donne immédiatement

1 (i-f- x) = x — — -J- ^- — . . .-h ( — i y14"' — (i 4- Bx)~\

Si Ton suppose x plus grand que l'unité en valeur absolue, la série à laquelle le second membre se réduit quand n est infini, n'est pas convergente, car le rapport «l'un terme au précédent a pour limite x, et cette limite étant plus grande que l'unité, les termes vont en croissant. C'est donc seulement pour des valeurs de x comprises entre — i et +»i qu'il faut chercher si le reste tend vers zéro. Si x est positif et moindre que l'unité, le reste

n *end évidemment vers zéro. Car on peut l'écrire

^t: la fraction étant moindre que x, sa puissance nième tend vers zéro, et il

^** est, à fortiori, de même du produit de cette puissance par - On a donc, pour **^s valeurs de x comprises entre o et i ,

*^tte série étant applicable au cas extrême où Ton a x = i , car dans ce cas le reste I. 37

tend vers zéro, à cause du facteur -•. qui est multiplié par une quantité évidemment moindre que l'unité.

Si x est négatif et qu'on le représente par — x\ on ne voit pas immédiatement quelle est, pour des valeurs croissantes de n, la limite du reste

/i(i — Ox)n

et l'emploi de la seconde forme du reste est ici très-utile.

Cette seconde forme donne (274) dans le cas actuel, pour l'expression du reste de la série,

Or, la fraction __ , est moindre que l'unité et en diffère, quel que soit 6, d'une

quantité finie. Sa puissance (n — \)ième tend donc vers zéro, et, par conséquent, le reste a aussi pour limite zéro, en sorte que la série de Taylor est dans ce cas convergente et représente 1 ( i — x').

On a donc enfin

li +x) = x I--Ô- — -r -+-•••

pour toutes les valeurs de x comprises entre — 1 et -h 1 . Nous avons fait remarquer que cette formule est applicable au cas extrême foù l'on a x= -f- 1; elle l'est également au cas où l'on a x = — 1 , car alors le premier membre est égal à — <x> , et le second se change en une série divergente,

282. La série qui représente 1 (1 -h a?) peut évidemment s'écrire de la manière suivante :

(,) |(i-hjt- )=jr(i — jt)-+.Ç(i — jt'J-hÇci — jr»)H....-|-^!(I — jc-)-h

En réduisant, en effet, les termes semblables dont le nombre est au plus égal à deux, on vérifie l'identité de cette formule avec la précédente. Si l'on suppose cependant x = 1, la formule (1) n'est plus exacte, car elle donnerait I2 = o. Cette anomalie tient a ce que pour la valeur x = 1 le développement de I(i+j) n'est pas convergent indépendamment des signes de ses termes, et que l'on n'a pas, dans ce cas, le droit d'intervertir l'ordre des termes positifs et négatifs.