LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

283. Développement de (i-hx)m. — En appliquant la formule générale, on trouve

i . 2 . 3 . . . n Pour que la série indéfinie

soit convergente, il faut que x ne surpasse pas l'unité en valeur absolue; le rapport d'un terme au précédent est, en effet,

et il a pour limite — x9 lorsque n augmente indéfiniment. Il ne peut donc y avoir convergence que pour les valeurs de x comprises entre — 1 et -h 1 , et c'est dans ce cas seulement qu'il y a lieu d'examiner si le reste tend vers zéro. Ce reste

tend vers zéro si x est positif; on peut, en effet/l^écrire

<•> ["'—' ■):;:.'""'*1-][iU^]-

Or le second facteur est moindre que l'unité, et le premier tend vers zéro; car si n augmente d'une unité, il se multiplie par

qui diffère peu de — x lorsque n est grand, n augmentant indéfiniment, le produit placé dans la première parenthèse de l'expression (2) se multipliera successivement par un nombre aussi considérable qu'on le voudra de facteurs peu différents de —x, et dont le produit tend évidemment vers zéro. On a donc, pour des valeurs positives de x inférieures à l'unité,

(i-f-srV"= 1 4- mx4- — - *.ra-K . .H - -^— ^"-4-

Si x est négatif, le raisonnement précédent n'est plus applicable, et il faut

i92 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

recourir à la seconde forme du reste, qui est, dans le cas actuel,

— - - — -r r ' x*[\ — 0 »-' i -hQx)'n-\

Le facteur

' xH î . 2 . . . ( n — i )

tend vers zéro, d'âpres ce qui a été dit; l'autre facteur

décent, en* remplaçant x, qui est négatif, par — x\

Or la fraction , est moindre que l'unité, de même que la différence î —Qx'\

cette expression est donc moindre que l'unité, et son produit par l'autre facteur, qui tend vers zéro, a nécessairement pour limite zéro. On a donc enfin, pour toutes les valeurs de x comprises entre — î et -+- t ,

î + x "= î -\-mx-\ : -x2-\-. . .H - — - x*+

On déduira sans peine du développement précédent celui de (x ■+ /i)m, car on a

et pourvu que x soit plus grand que A,

/ - l «. . nui m — i),, „ , ni. m — i \.Am -f-/?-+-i '. . {x+hfn = xm-+-mhxm~x-\ : frx"1-1-*-. . .-î //«^"«-"-f-

284. La série que nous venons d'obtenir est trop célèbre et trop fréquemment employée pour que nous laissions de côté le cas où Ton a x = ± t, et auquel les raisonnements précédents ne sont pas applicables.

La série (î -+- x)m devient dans le cas de x = î,

et, dans le cas de x = — 1 ,

, , nul m — 1) m (m — i)(/w — 2) , m.' ni — î >... [ni — n+j)

dont nous venons de discuter les conditions de convergence et d'exactitude, est importante par ses nombreuses applications et tient de plus une place importante dans l'histoire de la science: c'est la première qu'ait connue Newton, et quoiqu'il no l'ait publiée que plus tard, elle a précédé la découverte de la série de Mercator et de celle de Brounker.

Cette formule est encore remarquable par la facilité avec laquelle ou en déduit d'autres séries très-connues et très-importantes.

On peut mettre l'équation (i) sous la forme

Si l'on fait tendre m vers zéro, le premier membre, qui peut s'écrire

(i-hx)m— (i-hx)9 m — o

a évidemment pour limite la dérivée de (1 -f- x)m par rapport à m, pour la valeur particulière m = o, c'ést-à-dire 1 (1 -h x). En faisant m = o dans le second membre , on aura donc le développement de 1 (1 -\-x),

. , . X* X* xx \{v-ji-x) = x 1-.--.-4