am.(an — 1) (an— 3). . .(an — ain + ij

c*e»f— à-dire, en supprimant les facteurs communs aux deux termes du coefficient,

± — - ~* (an — am) (an — am — 1). . . (n — am-+- 1 )#■-"",

ifin

cte"

e* P^J^ conséquent le produit 1 .2.3... n 2n.Xn est la n'èm<f dérivée par rapport à x du P°ly***me,

x2" — nxiH-* H '- x2"-* — . . . = ( x2 — 1 Y ,

0a * clone enfin

i dtt.[x2 — i)n

a" . 1 . a . 3 . . ^n dxn

(i — 2ox-f-aJ) 2=i-hX,a-f-X2a2-h...4-XBa"4-

Celte formule est célèbre et nous la retrouverons de plusieurs manières.

289. Développement de sin x. — La formule de Maclaurin donne immédiatement

x1 xs x*n~l .r^+'sinô.r

sin x = x — - - H „ , > — • • • - — -7 -+-

Pour toute valeur de x, le terme complémentaire tend vers zéro , en sorte que Ton a toujours

x* xr> x'

sin x = x —

290. Développement de cos x. — La formule de Maclaurin donne immédiatement

x7 x* x** cos ô x

et Ton voit, comme dans le cas précédent, que le terme complémentaire tend vers zéro lorsque n augmente, en sorte que Ton a, pour toute valeur de x,

COSJr=i 1 :r— 7 / g g 4-

29 1 . Développement de cos mx en série ordonnée suivant les puissances de sin x. — La formule de Maclaurin permettant de développer une fonction suivant les puissances de la variable, permet par cela même de la développer suivant les puissances d'une autre fonction arbitrairement choisie, car rien n'empêche de prendre cette seconde fonction comme variable.

Si, par exemple, on veut développer cos mx en série ordonnée suivant les puissances de sin a:, on posera sin#=y, et cos mx deviendra cos m.(arcsiny). Or on a trouvé (151) pour x = o ,

d7**-2 cos m arc sin x , ... .t . . ,w „ /*,,„/ ,x ,

d2HV cos m arc sin x , . . , w , x r „ , ... . ^— =>zp f-i)"( m2— i)(/m2 — c|; — [#w8 — (2rt-i)2]sinm/,7r,

A désignant un nombre entier arbitraire, et le signe — de la seconde formule cor-