LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

respondant au cas où ce nombre est pair; la formule de Maclaurin donne par conséquent

cos mfarc sin >)= cos m/r* i r2 H - — 0 ? r* - 7 ) > ^ — ■ r6 •+-. . .

v JJ L I-2 1.2.3.4 1..2.3.4.5.6 - J

le signe — devant être pris lorsque k est pair. Si l'on remplace y par sa valeur, la formule précédente devient

, r mJ . , m'(W — 4) . ifi'fm' — 4)(ms— 16) . n

cos ma: = cos m Ar* 1 sin'xH - — r— ^ sin4 x - ,7, e .. sinf,.r-K • •

^zmsinmA-TT I sinar r- sin3 a: -h - ~ / * sin'* — . . . •

11 ne faut pas s'étonner de voir le second membre contenir un nombre indéterminé k. On sait en effet que, sin x étant donné, cos mx n'est pas déterminé, et peut avoir un nombre infini de valeurs si m est incommensurable, le développement de cette fonction, pour être général, doit donc être comme elle indéterminé.

Si Ton choisit une valeur de x, pour déterminer le nombre entier k, qui lui correspond et qui rend la formule précédente exacte, on se reportera à ce qui a été dit ( 151 ). cos mkn est la valeur que prend cos/raa? lorsque sin a; est nul, et par suite l'hypothèse sin x = o répond à x = kn. Si sin x croît à partir de zéro jusqu'à

l'unité, x variera de kn à kn -h - si k est pair, et de kn à kn — - si k est impair.

Lorsque x désigne le plus petit des arcs correspondant au sinus donné , on a il = 0 et

cosmx = i sin'aM - — ^—P- sin4 x i 7 ; - ~ ' sin«.r-f-. . .,

c'est la formule donnée parEuleretLagrange, qui ne répond, comme on voit, qu'à ip cas particulier.

292. Lorsque m est entier, on a sin mkn = 0 et cos mkn = ± 1. Si de plus m est pair, la série se réduit à un nombre limité de termes. On a, par exemple, en faisant m = 2, m = 4> #i = 6,

cos 2x = 1 — 2 sin2 .r ,

cos 4^= 1 — 8sin5.r-f-8sin4 x ,

cos6,r = 1 — i8sin2.r-+-48sin\r — 3?. sin6 .r.

293. Développement de sin mx suivant les puissances de sin x. — Si Ton pose

sin.r = y, la fonction sinmx devient sin (m arc sin j) : or on a trouvé (153), pour

(I2 "+2 sin m arc sin y , , , , , ,, , . , .* . , -/y^i - = ( — i)«mJ.(w3 — 4)...(wî — 4i»')sinmA-*,

f/2^1 sin /w arc sin r . , ,„, , w , r , , Xt1 , ri *2n+t ~ = — (— ! ) (/n — i)(m* — 9)- • -L,n — (2/l — lî'JmcoswAtr,

et par suite le théorème de Maclaurin donne, en remplaçant y par sin xy

, T "*' • , m'(mJ- 4) . , m>(m* — 4)(m>- 16) . u 1

sin A?/jr=sinfw/r7r i sin'.r H — r— 7-^sm4x * =7 V ^ /? sin6 .r-f...

, . T . (/*?'— i)sin3# , (ma — i)(m2 — 9) . k 1

k est un nombre entier qui reste arbitraire tant que l'arc x n'est donné que par son sinus. Dans le second terme, il faut prendre le signe -h si k est pair, et le signe — si k est impair.

La formule suppose, pour sina? = o, sinma? = sinmi7r; lorsque sin x augmente

à partir de zéro, l'angle #, d'abord égala #7r, augmente jusqu'à (A-+- -Jrc si k est

pair et diminue jusqu'à (>t — - W si X: est impair. Dans le premier cas il faut prendre le signe -4- du second terme, et dans le second on prendra le signe — . Lorsque x est le plus petit arc qui correspond au sinus donné, on a

m [m}— 1) . . mini1 — 1) (m1 — q) . t

sm/nx = msinx * - — -' sm8.rH i ' . - — — smsx-f-. . . :

c'est la formule donnée par Euler et reproduite par Lagrange.

Lorsque m est entier, sin mkn se réduit à zéro, et si de plus m est impair, les termes deviennent nuls à partir d'un certain rang et la série se réduit à un nombre limité de termes. On trouve par exemple

sin 3x = 3 sin x — 4 s*n3 x* sin 5 x = 5 sin x — 20 sin3 x -h 16 sin* x , sin 73: = 7 sin.r — 56sin3x-f- 112 sin* .r — 64 sin' x, sinc).r ==9sin.z — 1 20 sin3 .r -h 432 sin* x — 5^6 sin' x ■+- 256 sin9.r, sin 1 1 x = 11 sinx— 220 sin3 x -h 1232 sin4 x — 2816 sin7 x -f- 28 16 sin9 x — 1024 sin" x.