LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

et que l'on suppose ensuite m = o9 le premier membre ' n x deviendra égal à x\ et Ton aura

x = sin x '-\ r sin3 x h .> / * sin •* 4- . • • ,

formule très-célèbre et que nous retrouverons d'une manière plus directe. 295. Les formules

• = m\ sin x 5- sm3.r-h 0 , g ^ sm5 or — . . . ?

sin mx :

m* . „ nïini2 — 4) . .

cos mx = i sin2# H * — ^-t1- sin1 x — . . . ,

peuvent aussi servir à retrouver les développements de sin z et cos z suivant les puissances de z. Posons en effet mx = z et supposons ensuite que m

augmente indéfiniment, tandis que x tend vers zéro, le rapport ayant

pour limite l'unité, on pourra remplacer sin x par x, c'est-à-dire par — ; d'ailleurs

lim — * — : = 1,

lim — '-+ 2' = i,

et par suite les équations ( i ) deviendront, à la limite,

sin z = z —

cos z = 1

296. Développement de cosmx suivant les puissances de cos a?. — En ayant égard aux valeurs obtenues (154) pour les dérivées de cos m (arc cos a?), on trouve par l'application directe du théorème de Maclaurin,

, , mtz j m2 , m2 {m2 — 4) * \

cos mx = cos (2 k -+- 1 — 1 cos'jcH - — 5-7- cos1* — . .

ziz m sm ( 2

mvV m7 — 1 (m* — i)(m' — 9) . ~]

A-+i) cos.r — ~cos8x-hv " ^ycos^~- ... h

A: étant un nombre entier arbitraire, et le signe -h correspondant au cas où* est

pair, et le signe — au cas où k est impair. La formule ( i ) suppose que pour coso?=o on a x = (ait H- 1) -• Si cosa? varie de o à i, x varie de {ik -+- i ) -àibr

lorsque k est pair, et de (2k + 1) -à (k -h i)tt lorsque* est impair.

Si Ton veut que x représente le plus petit arc dont le cosinus est cos x9 on a

k= o et

cos mx = cos — 1 cos2 x -\ • — ^- -£■ cos4 x — . . . )

-h m sin — I cos x - cos8 x -h . . . ) •

Si Ton fait m =2, m = 3, m = 4» on trouve

cos 2 x = 2 cos2 x — 1,

cos 3 x = 4 cos* x — 3 cos x ,

cos4^ = 8cos4.r — 8 cos2 .r -h 1,

cos 5 x = 16 cos* x — 20 cos* x -h 5 cos.r,

cos 6a: = 32 cos6 x — 48 cos4 x -h 18 cos2 x — 1.

En général, cos mx se compose d'un nombre fini de termes toutes les fois que m est entier. Les termes sont de degré pair ou impair, suivant que m est lui-même pair ou impair.

297. Développement de sin mx suivant les puissances de cos x. — En ayant égard aux valeurs obtenues (155), pour les dérivées de sin (marccosa?), quand on suppose x == o, on trouve

. , mn / m2 , m2{m2 — 4) , \

sin mx = sin ( 2 k -h i ) — 1 cos2 x -\ - — r— ^ cos* x — . . .

. , ninV m2— 1 , (m2 — i)(m2— 9) K 1

ni m cos 2A -h 1) — cos.r — cos\r H 0 , ^ — cos5x — ... h

£ étant un nombre entier arbitraire, et le signe — du second terme correspondant au cas où k est pair. La formule suppose que pour cos x = o on ait x = ( 2^-h 1 ) -,

et lorsque cos x varie de o à -h 1 , x varie de (ait 4- 1) - à kn si k est pair, et de

(a£-M)-k(A-hi);rsi A est impair. Pour aucune valeur de m cette série ne se

298. Remarque relative aux quatre séries précédentes. — Considérons les quatre

cos mx :