LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 30i

séries qui viennent d'être obtenues :

cosmjr = cos mkn\ i sin'xH - — =r-?-sin4* — *--^ » / g g sin'.r-K..

qzmsinmA-ir sin* 5- sin3 a: H- v " , - ^sin'ar— . . . h

sin mjF = sinmA-ir 1 sin2*H — ^-^sxrtx - 7 / * g 'shi'jfh-...

± m cos mkit sin # 5- sin3 x -f- ' . 7" sin* x — . . . ?

, , ,/nir/ m3 , m2 (m2 — 4) \

= C0S(2A*H-l) I COS2* H - ^—r^COS4^ — ... )

. . , i ,/njrr m2 — 1 . , (m2 — i)(m2 — 9) . "I

±msin a*+i — cos* 5" cos3;r-f- 777-1 cos'#— . . . ?

. , , x ni* / m2 , m2(m2 — 4) , \

ic m cos (2 Ar -M) — cosx ^- cos3 .r-J- 0 / * eos'x — . . . h

la forme même de ces séries donne lieu à une vérification qu'il est bon de faire remarquer. D'après les explications qui ont été données relativement au sens qu'il faut attribuer au premier membre pour une valeur donnée de h, si l'on nomme a le plus petit arc, positif ou négatif, ayant pour sinus sin xf on a

cos ma = 1 — m2 sm*.r H i — 5— -^ sin4.r — . . .

sin m.r

sin m

T . (mi— 0 • s , (m2— i)(m2— 9) . -1

a= m sin x — 2 ^ sin3.rH 0 . > ^'sin'g — ... ;

on a de même, en nommant a' le plus petit arc qui ait pour sinus cos x,

cos ma'= 1 cos2#H - — 5— 7- cos4 or — ... ,

sin m a'

:=m[cosx — cos3 a: H-, . . •

Les quatre formules deviennent, d'après cela,

cosnw: = cos mkrt cos ma ± sin mk* sin ma = cos ( mkndzma ),

sin mx = sin mkn cos ma ± cos m k tt sin ma = sin(mkn± ma),

ii .mn #!•/» , m*r . . T/i » mn ~\

cos mx = cos (2 k -t- 1) cos m a ±sin(2Ar-f- 1) — sin ma' = cosl (2 k -f-i) — zpma' u

. , t .mn , .mit , . r . mir T

sinmr=sin(2#-j-i) — cosma'zpcosf^Ar 4-1) — sin m a' = sin I (a£-hi) - — q: ma' ,

.m PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

les signes supérieurs correspondant au cas où le nombre entier k est pair, et les signes inférieurs au cas où il est impair. Or l'exactitude de ces dernières formules est évidente; a étant en effet le plus petit arc dont le sinus est sin x, Tare x a pour expression kn ± a, le signe -f- correspondant au cas où k est pair, et le signe — au cas où k est impair. De même, a' étant le plus petit arc dont le sinus est

coscT, (ai + i)-+a;f est la valeur générale de l'arc dont le cosinus est cos x, les

formules précédentes peuvent donc être écrites à priori, et font voir que les formules particulières d'Euler comprenaient implicitement le développement général donné plus tard par Poinsot.

299. Développement de — ^— suivant les puissances de tango?. — En posant

mn mx "*

tangj7=j, la fonction — ^—devient sin (m arc tangy) (i -+-/*)'. Or on a (156)

cos X pour X =r o,

//"sin (m arc tanga?) (i-hx*)7 __

dxin ~~ '

</'"+' sin (marc tang*) ( i-hx7)7

- j — ~ — — — =( — i)"m.(m — i)(m — 2)...(/n — a»-f-i)(m — an),

et, par conséquent, le théorème de Maclaurin donne

,x7- m[m — i)(m — 2) , sin ( m arc lang y) { \ -h r7 ) 2 = my -^5 ys

c'est-à-dire

T - m (m — ') (m — ? ) si ri mx = cosw x I m tang x - —^ tang3 x

Dans cette formule x désigne le plus petit arc dont la tangente est tang x. On trouverait de même, à l'aide des dérivées calculées (157),

cos m.r = cosm ri tang' x h * — — ~ tang* x — . . . •

Les formules générales relatives au cas où x est l'un quelconque des arcs qui ont pour tangente tang x, peuvent se déduire de celles-ci. Si en effet a est le plus petit