LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

arc ayant tang a; pour tangente, les autres sont de la forme kn -h a, et par conséquent les valeurs générales de sin mx et de cos mx sont,

sin mx = sin m a cos mkn -h sin mkn cos ma , cos mx = cos ma. cos m/i*ir — sin ma sin mk n .

300. Développement de arc tang x. — Nous avons trouvé ( 146) que pour x = o on a généralement :

d*n arc tang x

dx* —°'

</*"♦-' arc tang.r on en conclut, d'après la formule de Maclaurin,

(i) arc tang x = x — — 4- ^- h. . . ,

et comme on a trouvé aussi (144), en posant arc tang x = uf - —u = y,

d*+l arc tang x ( i .2.3. . . n){— i)n . , x , , . ,

rf^,^, * = - ^r ^sin(/H-i)j=i.2.3.,./i(-i)"sin(/i4-i)rsin^'n

(i-h*')" le terme complémentaire est

-^7 sin(n-f-i) ( - — arc tangôx j.

(i+-e2jr') Or, pour des valeurs de x comprises entre — i et -+- 1 , — tend vers zéro

lorsque n augmente, et par suite la série ( i ) s'applique à toutes les valeurs de la variable, comprise entre ces limites.

301. Développement de arc tang (œ-\- h). — En appliquant la formule de Taylor et faisant usage de l'expression de la dérivée qui vient d'être rappelée au paragraphe précédent, on trouve

h3 li3 h*

( i ) arctang(.r-hA)=arc tang .r-+-Asin2 r- sin1 rsin i r-f-^- sin* rsin3 r— y sin* rsin 4 r-K . .

Cette formule donne plusieurs conséquences remarquables. Si l'on y fait A = — x, on obtient

o== arc tang x — x sin'r sin2 rsin 2 r — -0- sin3 rsin 3 r — • . . ;

mais de l'équation arc tango? = - —y, on déduit

x = coty, et par suite A = — cotj,

et l'équation précédente devient

n cos2 r sin 2 r cos* r sin 3 r cos* r sin 4 r ( 2 ) - — y = smjcosj-H J— ^- H ^ J- H £j — ^- -+-

Si dans la même formule ( i ) on fait h= —x— - = — tans u — cot u = : — ! -,

v ' x ° smrcos/-

on aura

arc tang (#-*-/*) = arc tang = h arc tang .r = — y,

et par suite la formule (i) devient

v sin y isin2j- i sin 3 y

% 2 * cosj i cos"/ 3 cos* y '"'

on en déduit

7r sin / i sin 2 y ^ 1 sin 3y

2 cosj 2 cosaj 3 cos3 y Si Ton suppose enfin

cos u sin y

on aura >

arc tang {x -f- h ) = arc tang(.r — sJ\-\-x2) =arc tang [ \/ 1 -+- or2 . (siru/ — 1)]

sin u — 1 1 — cosr 1 1

= arc tans = — arc tang — : — = — arc tang . tang - v = y,

* cos m sinj ° D 2^ 2' '

et, par suite,

— \ = \ —y— sinj— i sin iy— ^ sin 3r — . ,

d'où

^- = sin/ H — sin 2 j-f- -r sin 3 %y -f- . . . .

Nous avons cru devoir faire connaître ces diverses séries, à cause de leur célébrité et pour donner un premier exemple des transformations que Ton peut faire subir aux résultats immédiatement fournis par les formules de Taylor; mais nous retrouverons la plupart d'entre elles par d'autres procédés qui nous permettront de décider dans quels cas elles sont applicables.