QUELQUES DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Série de Bernoulli.

309. Jacques Bernoulli a fait connaître, dès l'origine des nouveaux calculs, une série applicable, comme celle de Taylor, au développement d'une fonction quelconque, et qui peut d'ailleurs très-facilement s'en déduire. Si dans la formule

V(x-h/i) = Y(x) + hY'(x)-h-^V"(x) + ... ,

on pose h = — x9 on en déduit, en faisant passer dans le premier membre tous les termes autres que F(a?)f ♦

(.) F(*) = F(o)-h*Ff(*)— -£l F" (*)+....

Les coefficients des diverses puissance^le x étant ici des fonctions de la variable x elle-même, cette série est d'une forme très-différente, et en général beaucoup moins utile que la série de Taylor. •

Nous nous bornerons à indiquer une application.

Soit

F(jr) = (>-WO'\ la formule de Bernoulli donne

( a : ;x + a )" = aH-{-nx.(x-h a )"-' — w,w~- x1 ( x -+■ a )"-2 — . . . .

dette série peut d'ailleurs s'obtenir à l'aide du binôme de Newton : on a en eflVt

(3; an=(a-{-x — x)" = (a + x)9 — nx {a-{-x)n-1 H - jL [a .+ xY~" <,

et l'identité des formules est évidente.

310. On a choisi l'exemple précédent, parce que la formule trouvée donne un moyen assez commode de* calculer très-exactement la valeur numérique de certaines racines. En divisant l'équation f 3) du paragraphe précédent par {a -hx)na",