L'équation

(i) z = a -f- xy{z)

a, en général, plusieurs racines. Quelle est celle a laquelle se rapportent les formules précédentes? Cette question est délicate, et plusieurs géomètres célèbres l'ont traitée sans se trouver entièrement d'accord. Ce n'est pas en ce moment que nous pouvons la résoudre complètement : nous nous bornerons, dans ce chapitre, aux indications suivantes.

La série

(*) f{z)=f(«) + xi(«)f'{")+~^lU(aYf' («)] + ••..

représente évidemment, poura? = o, la fonction /(a) qui correspond a la racine z = a, et comme cette série est une fonction continue de xf si pour chaque valeur de cette variable on partage les racines de l'équation en deu-x groupes, dont l'un comprenne celles qui sont plus grandes que a et l'autre celles qui sont moindres, la racine à laquelle se rapporte le développement est évidemment, pour de petites valeurs de x, la plus rapprochée de a parmi celles qui appartiennent au même groupe qu'elle, et toute la difficulté consiste à savoir si cette racine est plus grande ou plus petite que a. Or on

z — a = xy [z),

et en supposante infiniment petit, z diffère infiniment peu de a, et z— a est de même signe quea?y (a). Si donc <p (a) est positif, z — a est de même signe que x, et le contraire a lieu si © (a) est négatif.

La même règle s'applique lorsque x prend des valeurs croissantes. La racine variant d'une manière continue, restera toujours dans le groupe où elle se trouve placée d'abord, car 9 (a) n'étant pas nul, z ne peut devenir égal à a pour aucune valeur de x autre que zéro. La série représentera donc une racine connue jusqu'à ce que l'une des deux circonstances suivantes se présente.

La série (2) cesse d'être convergente.

x acquiert une valeur telle, que les deux racines les plus voisines de a parmi celles de même groupe qu'elle deviennent égales entre elles.

Dans le premier cas, la série ne représente plus rien, et lorsque le second s'est présenté, x continuant à croître, la continuité ne suffit plus pour indiquer celle des racines qui succède à a par une variation continue. En général, d'ailleurs, les deux racines deviennent imaginaires après avoir été égales, et ne peuvent, ni l'une ni l'autre, être représentées par la série (a), qui, comme nous le verrons dans un autre chapitre, devient alors divergente.