LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Seconde démonstration de la formule de Lagrange.

314. La démonstration de la formule de Lagrange que nous venons de donner, est celle de Laplace. Quoique directe et élégante, elle exige des tranformations successives qui la rendent moins simple que celle que nous allons faire connaître et qui est due à Jacobi.

Lorsqu'une fonction <p (x) devient infinie pour a?= o, elle n'est pas développable parla formule de Maclaurin, mais elle peut, en général, être développée en série ordonnée suivant les puissances positives et négatives de la variable et de la forme

kHXn -J-. ..

xm

Lorsque cela a lieu, la dérivée ^ {ce) est représentée par la dérivée de la série précédente, c'est-à-dire par

*-W A, -f-aA-j-r-K . .4-«ABrM -+-. . .

Bt 2B1 nB„

X* X* xm+l

et ce développement n'a pas de terme en —

Ainsi donc : Si une fonction est développable en série ordonnée suivant les puissances positives ou négatives de la variable, la dérivée de cette fonction est développable

en série de même forme dans laquelle manque le terme en -•

Cela posé, considérons l'équation

Soit

(2) /(*)=/(«) -h A,* -h A,*' -h. . -hA,*"-^...,

A, , A2,... A„, étant des fonctions de a indépendantes de x\ prenons les dérivées des deux membres par rapport à z, en considérant a comme une constante, et divisons par x" les deux membres de l'équation obtenue, nous aurons

f (z) A, dx 1 Ai dx n \Hdx . , . dx

xn x* dz x"-1 dz x dz dz

ou, en remplaçant dans le premier membre x par sa valeur déduite de l'équation ( 1 ),

.,, f'(z)9(z)n A, dx 0. ht dx nkndx . dx

Développons actuellement les deux membres en séries ordonnées suivant les puissances positives ou négatives de z — a, et égalons les coefficients de — l— dans les deux développements. Si Ton pose

on a

F(*)=F(ci-t-* — a) = T{a)+(z — a)F'(a)-h(~ -^ F"(a) + . . . .

Pour obtenir le développement du premier membre de l'équation (3), il faut diviser chaque terme de cette série par (z — a)", le coefficient du terme en — l— est donc

,.a.3.'.'.H-, F""(a)= ,.a.3..'.»-.,-j^Lr^tw.

Si Ton développe les divers termes du second membre de l'équation (3), on voit,

TL A ilX i

d'après ce qui précède, qu'un seul d'entre eux, — - '-y-> donnera un terme en

Considérons en effet le terme général

dx

. Hz f*Aa ^

* xn"fA~tl f* — n dz

où fx. désigne un nombre entier quelconque différent de n. af~~n est en général développable suivant les puissances positives ou négatives de z — a, car si [i surpasse n9 cette expression est nulle pour z = a , et si |m — n est négatif, le produit

a pour s = a une limite finie égale, en vertu de l'équation (î), a <p(a)n~,u, et ce produit est en général développable suivant les puissances de (z — a). En divisant tous les termes par (z —a)n~~fl, on aura le développement de#tt~\ qui renfermera des puissances positives et négatives de (z — a) : la dérivée par rapport à z ne con-

tiendra donc aucun terme en

Quant au terme

. dx dz

on a

dx

" dz k dl. x

x dz