INFINIMENT PETITS DES DIFFÉRENTS ORDRES, LEUR USAGE EN GÉOMÉTRIE

Définitions.

1 . On nomme infiniment petit ou quantité infiniment petite, un nombre ou une grandeur variable qui diminue indéfiniment et s'approche autant qu'on veut d'une limite nulle, sans jamais l'atteindre.

Lorsque Ton considère simultanément plusieurs infiniment petits, on choisit arbitrairement l'un d'entre eux comme infiniment petit principal ; cela fait, on adopte les définitions suivantes.

On nomme infiniment petit du premier ordre tout infiniment petit dont le rapport I. i

a Tinfiniment petit principal tend vers une limite finie lorsqu'ils s'approchent tous

deux indéfiniment de zéro.

On nomme infiniment petit du second ordre tout infiniment petit dont le rapportau carré de l'infiniment petit principal tend vers une limite finie.

Un nomme en général infiniment petit de tordre n un infiniment petit dont le rapport à la puissance nUmc de l'infiniment petit principal a une limite finie.

Il ne faut pas croire que tout infiniment petit soit nécessairement d'un ordre déterminé; nous rencontrerons en effet des infiniment petits tels, qu'aucune puissance de l'un d'eux ne soit du même ordre que l'autre. Soient a et /S de tels infiniment petits : le rapport g ne peut pas avoir une limite finie, car sans cela ils seraient

de même ordre. Lorsque cette limite est nulle, on dit que V ordre de a est supérieur à celui de /3, et c'est le contraire si la limite est infinie.

Il résulte évidemment des définitions précédentes que si deux infiniment petits a et ]3 sont l'un de l'ordre n et l'autre de Tordre /i\ leur produit «]â est de

Tordre n -h n'.

2. Soit 9 (x) une fonction quelconque d'une variable a*; si Ton donne à oc un accroissement infiniment petit A, que nous regardons comme infiniment petit principal, Taccroissement infiniment petit correspondant delà fonction, ç(a;-hA) — <p (a?)t est un infiniment petit de premier ordre, et il ne peut y avoir exception que pour des valeurs particulières de la variable x.

Si, en effet, il en était autrement, le rapport — j ï^~ '• aurait, pour chaque valeur de <r, une limite nulle ou infinie. Je dis que ces deux hypothèses sont inadmissibles.

Supposons d'abord que le rapport considéré ait constamment pour limite zéro, lorsque x reste compris entre certaines limites. Soient a et b deux valeurs de œ choisies arbitrairement entre ces limites; partageons l'intervalle b — a en n parties

égales et nommons h la valeur de chacune de ces parties ; posons :

, y(a + ->.h) — y(rt + A) „ (I, J-* =E„