LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. â

Si dans le produit Q on change z en x2z, il devient Jj ; on doit donc avoir

\-\~XZ

En chassant les dénominateurs et égalant les coefficients des mêmes puissances de z dans les deux membres, il vient

on en déduit

et par conséquent

(^^)(l+^)(1^sz).<t=I+7:^^ (^i^+ti^ii.^.--^

329. Développement du produit (i 4- a?) ( 1 -+- a?a ) (1 -4- x* ) ( 1 -h a?8 ).. . . Si Ton désigne ce produit par R et qu'on y change x en x2, il devient évidemment — ; — Si donc on pose i + x r

R = i H-C^ + Ca-T'H-Cr»... , on doit avoir

i-hCi^-H C2.r4-+-C3.r*-K . .= ,

et en chassant le dénominateur pour égaler les coefficients des mêmes puissances de x, on trouve

I ^= L«i 9 L»i ^= L»j ; i-i| == L13 9 Cj = li« , . . . ,

le développement est par conséquent

On peut d'ailleurs arriver au même résultat en remarquant que le second membre représente J * et que Ton a identiquement

ce qui, er évidemment pour limite la for-

mule ( '

330. Nous rapprocherons des résultats précédents une formulé très-remarquable due à Euler, et qui exprime sous forme de série ordonnée suivant les puissances de x, le produit infini

Si Ton désigne ce produit par S, on a évidemment

Désignons par — A l'ensemble des termes qui suivent les deux premiers, c'est-àdire posons

\ = xi(i — x)+x*(i — x)(i — x') -h x* (i — x)(i — x*){i — x*)+ . . . ,

que Ton peut écrire, en effectuant dans chaque terme la multiplication par (i — x)f

A = x7 4- x* ( i — x%) -f- xA (i — x7) ( i — x3)-*- . • . — x1 — x^x — x3) — x&(i — x7)(i — *•) + . . . ,

et, en réunissant les termes qui contiennent actuellement en multiplicateur la même puissance de x,

k=X3 — X>—X'(l—XJ) — X9{l — X7)(l — Xi) — J?"(l— X*)(l — x*){i — X4)

Posons

et par suite

que l'on peut écrire, en effectuant dans chaque terme la multiplication par i — x2,

B = x "• -hx9(i — .r3)-f-.r"(i — .rs)(i — x*)-\-...

— X»—Xu(l—X>) — Xl*(l—-Xs)(l — X*)—...,

et, en réunissant les termes qui contiennent actuellement en multiplicateur la même puissance de x,

B = x' — xn — jt'*(i — .r3) — x"[i — x*)[i — x*) — x*1 (i — x*)(i — x*)(i— xh) —

Posons

et par suite

C = .r,s(' — *3 )-*-•*" t1 — x*)li — x*)-+-xu{i — *>){i — x4)(i — *$)H-...,

que Ton peut écrire, en effectuant la multiplication dans chaque terme par î —x%,

C = ^ + «,,(i-^) + j:,l(i-^)(i-Ji)+...

__ x • • — x7 » ( I — X* ) — Xn ( I — X* ) ( I — x> ) . . . ,