LIVRE SECOND. -. DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

et en réunissant les termes qui contiennent actuellement en facteur la même puissance de x9

Si Ton pose

Crr*'* — Xn — D,

on pourra transformer D comme on a transformé A, B et C, et en extraire deux termes

et en continuant ainsi indéfiniment, on trouve

S= i — x — x7 -t-xï — x'-hx17— x]i-+-x" — xM-hx*b — ;r"-f-.rsl—

Les coefficients sont alternativement -h i et — i ; quant aux exposants, pour en trouver la loi, il faut les considérer d'abord de deux en deux, c'est-à-dire porter son attention sur les premiers termes des groupes de deux, successivement extraits de produit; or on voit que dans la suite

les différences sont

progression par différence dont la raison est 3; il est facile d'en conclure que les exposants sont contenus dans la formule

On verra de même que les exposants

■ , 5, ri, 22, 35, 5i , . . . ,

sont contenus dans la formule

3 ri1 — n

et la formule cherchée est enfin

(i — x)(i — x")(i— x>)(\— x*)...=z i — x — x*-+-xh — jt'h-jt"— ...-+- x 2 — x a H-...,

et, cette loi une fois connue, on vérifie bien aisément que les termes successivement fournis par le mode de raisonnement employé y sont constamment conformes. I. £2