Puissance nième dune série. — Soit

( i ) a0 4- ax x H- aa x7 -+- . . . -f- ap xp -h . • •

une série convergente. La méthode des coefficients indéterminés offre le moyen le plus rapide de calculer les coefficients de la série qui en représente la puissance nième. Posons en effet

( 2 ) ( «o H- «, x -h a7 x2 . . . -h apxP H- . . . )" = A„ -f- A , x -h A, x* H- . . . ,

on en déduit, en prenant les dérivées des deux membres,

(3) n(a9-\-atx -{-...+ apxP. ..)*-' (al-\-za2x...-\-pàPx*-1 -+-...) = A, 4-2A,.r-h3A3.r,-+-....

En divisant membre à membre les équations (2) et (3), et chassant les dénominateurs, il vient

(a0-hatx + atx2-h. . . )(A, + îA,j + . . . pApxP~l -J-. . .) = n(ax -huaix. . . + papxP~l -h.. .) (A,-t- kxx-\- Atx7-\-...-+-ApxP -)-. . .).

En effectuant les multiplications indiquées et égalant dans les deux membres les coefficients des mêmes puissances de x, on obtient les équations suivantes :

A, «2 -+- 2A2al + 3 A3«tf = 3/itf3Ao -h ?.»a, A.-f-na. A„ •

A, «3 -h 2A2fl7 -h 3A3fl, -+• 4A4«0 = 4Wflr*'^o -+- 3wtfsA, H- 2/1 a, A, -h n a, A3,

on en déduit

' na3\0 {in -Q ( n — 2)

■ A3 := 1 r «, A, H ~ a , Aa .

On pourra continuer les calculs aussi loin que l'on voudra et rattacher ainsi tous les coefficients les uns aux autres, en les faisant dépendre du premier A0 , qui reste seul inconnu. Or On voit en faisant x = o que Ton a A0 — an. Le problème est donc résolu.

Si Ton se donne, par exemple,

x1 3 K arc sin x = x -h -^ -f- 7- xb -f- . . . «

a:4 8 a:6 4*' (arc sin *)>= *» -h -5- 4- -7=- -H-W- -*-• • • >