LIVRE PREMIER, -r- ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

Si n augmente indéfiniment, h tend vers zéro, et d'après notre hypothèse il en

est de même de E,, E2 ,..., E„. Cela posé, ajoutons membre à membre toutes

les équations ( i ) après avoir multiplié par À les deux membres de chacune d'elles;

nous aurons

f(a + nh) — ?(«)= j(6j — ? («) = A (E, -h E, -+-...-+- EJ.

Soit y) la plus grande en valeur absolue des quantités E,, E2 ,..., E„ (vj est infiniment petit), nous pouvons conclure de l'égalité précédente que 9 (b) — <p{a) est plus petit en valeur absolue que le produit A./ivj, c'est-à-dire (à cause de nh = b — a), que cette différence 9 (6) — 9 (a) est moindre en valeur absolue que le produit yj (6 — a) et comme vj est infiniment petit, il est impossible que la différence 9(6) — 9 (a), qui ne dépend nullement de A, ait une valeur finie quelconque; cette différence est donc nulle, deux valeurs de la fonction 9, choisies arbitrairement, sont donc égales entre elles, par conséquent cette fonction est constante.

Il est démontré par là que les accroissements d'une fonction qui ne se réduit pas à une constante ne peuvent pas être des infiniment petits d'un ordre supérieur aux accroissements correspondants de la variable, si ce n'est toutefois pour des valeurs exceptionnelles de cette variable. On peut en conclure immédiatement que le rapport

T(jg-h/l)—y(jf) h

ne peut pas non plus croître indéfiniment lorsque h tend vers zéro, ou, en d'autres termes, que l'accroissement h de la variable ne peut pas être un infiniment petit d'ordre supérieur à l'accroissement de la fonction.

Un peu de réflexion fait apercevoir l'identité de cet énoncé avec le précédent. Quand on considère, en effet, à la fois une fonction 9 (a?) et la variable x dont elle dépend, rien n'empêche de désigner cette fonction par une lettre y et de regarder y comme une variable dont x est une fonction ^ (y). /Cette vérité acquiert une complète évidence si l'on regarde 9 [x) comme l'ordonnée d'une courbe ayant pour équation y = 9 (# ) : cette courbe étant construite, il est clair que l'on peut regarder l'abscisse de l'un de ses points comme fonction de l'ordonnée, tout aussi bien que l'ordonnée comme fonction de l'abscisse; et du moment qu'il est prouvé, d'une manière générale , que l'accroissement infiniment petit de l'une de ces quantités ne peut être d'un ordre supérieur à celui de l'autre, la proposition s'applique nécessairement à l'un et à l'autre, et l'on doit en conclure que les deux accroissements sont de même ordre.

3. Quelle que soit la fonction 9 (x)9 le rapport ? 'j— ?->-' a, d'après ce qui

précède, une limite finie lorsque h tend vers zéro; cette limite est une nouvelle

fonction de x que Ton nomme la dérivée de la fonction ? : on la représente souvent

en marquant d'un accent le signe de cette fonction.

9' (x) est la dérivée de ç ( x ) .

La recherche et l'étude des dérivées ont une grande importance dans le calcul infinitésimal; nous y consacrerons plusieurs chapitres. Notre seul but en ce moment est de donner quelques exemples d'infiniment petits de divers ordres.

Nous indiquerons immédiatement quelques conséquences géométriques de la proposition précédente.

4. Si les coordonnées des points d'une courte s'expriment en fonction d'une variable oc, ce qui pour une courte quelconque peut évidemment être réalisé d'une infinité de manières, la distance de deux points infiniment voisins de la courbe est un infiniment petit de même ordre que la différence des valeurs de a auxquelles ils correspondent.

Si Ton nomme en effet x et y les coordonnées de l'un des points, et x -h /i, y -+- k les coordonnées de l'autre, â désignant l'accroissement de a, puisque x et y sont fonctions de a, il résulte du théorème général que leurs accroissements h et k sont l'un et l'autre de même ordre que â. Or on a

W(îMî)'-

et par conséquent ce rapport a une limite finie, ce qui prouve la proposition énoncée, car V^* ■+- k2 est la distance des deux points considérés.

La même proposition s'applique aux courbes à double courbure ; si x, v, z sont les coordonnées d'un point d'une telle courbe et fonctions toutes trois d'une même variable a, en donnant à a un accroissement infiniment petit o\ x, y, z deviendront x h- h, y -h k, z -+- /, et h, k, l seront de même ordre à. Or on a

-\/(i)*-(îM»)'-

et par conséquent le rapport de la distance de deux points infiniment voisins à l'accroissement correspondant de a a une limite finie.

5. Si les points d'une courbe correspondent un à un à ceux d'une autre courbe, de telle sorte quun point de l'une des coui'bes étant choisi, son correspondant se trouve déterminé, la distance de deux points infiniment voisins de l'une des courbes est de même ordre que celle des points correspondants sur l'autre.

Si Ton suppose, en effet, que les coordonnées .r, y, z des points de la première courbe soient exprimées en fonctions d'une variable «, les coordonnées r,, v,, z% du point correspondant de la seconde courbe sont également fonctions de a. Si donc on veut considérer deux points infiniment voisins de Tune des courbes et leurs