LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

ce qui s'accorde avec le résultat trouvé (303), mais la loi des coefficients serait difficile a obtenir de cette manière.

332. Nous devons donner ici un élégant théorème énoncé par Eisenstein et démontré de la manière suivante par M. Sylvester.

Lorsqu'on a fopmé les puissances entières et positives d'une série ordonnée suivant les puissances croissantes d'une variable x, on peut en déduire facilement le développement d'une puissance quelconque.

Soit (i) u = A. 4- A.-r-f-Aj.r'-f-. . .-f- \ax« + . . .,

on a

la différence {u — A0) contient x en facteur, par conséquent (u — A0)q ne contiendra, toutes réductions faites, que des puissances de a? à exposant au moins égal à q%. Si donc on veut chercher, dans le développement de um9 le coefficient de x", on pourra négliger tous les termes de l'équation (a) dans lesquels l'exposant de u — A0 est supérieur à un nombre arbitraire ri égal à n ou plus grand que n, et si l'on désigne par B/n>w, le coefficient de X* dans le développement de um, on aura

B,., = mA^1 Bc,„o -h™ ("*~ ° Ap3 (B,„ - 2A0 B(lt,))+... (3)

H s nTT — /? • [By,,)-«'A,B|^l,.)-.±nA) B0..)],

et »', dans cette formule, est assujetti à la seule condition de n'être pas inférieur à n. Le plus simple sera de supposer n' = n.

En adoptant cette supposition et réunissant dans le second membre les termes semblables, l'équation (3) prend la forme

R -«R A—F, tn. ■' ■ (m-i)(m-2) (m-i)(m— a)...(m— w-f-i)1 Bc..,-mB(I.„,A. ^,-(m-,)H — ± ,\a.3. . .(n- i) J

* , m{m—x)n S ^, (iw— a)(m— 3) Jm-J»)(m-3).,.(m-B+0]

m(m-i)(m— a),m „,[" ON , (m— 3)(m-4) ,. (m-3.)...(iB-ii+in •+■ ~ (B,..iA, ^,(m-3)H — ± ,.a...„3 J

+ TTr-^ A» B{""''

ou, en sommant les coefficients placés entre parenthèses,

B(«>B) = mB(,,B/A" ' I

/>/(///— 1) fcW,r(3— m)(4 — m )...(n— m)~| m (m— 1) ..(m — n-*-i) M

Si dans cette formule on fait m = — 1, on obtient le coefficient de a? dans le développement de - et l'on vérifiera aisément qu'il coïncide avec celui qui résulte de la formule ( 320) déduite par M. Cayley du théorème de Lagrange.

333. Formate de Stirling.—Nous déduirons encore de la méthode des coefficients indéterminés quelques développements célèbres qui seront utilisés dans la suite, après avoir été démontrés d'une manière plus rigoureuse.

La formule de Stirling, que nous allons faire connaître, est de la forme suivante:

?(* + *)- ?{*) = h?' (x) -h \Jifo' (x -h h) — j'(*j] + A, A' [*"(* + A) — f(x)] + AMh*[f(x-hh) — ?•(*)]+.... ,

Pour que les deux membres, soient identiques, il faut et il suffit qu'en les développant suivant les puissances de h, on obtienne de part et d'autre les mêmes coefficients. Cette condition fournit les équations

ces équations donnent

Pour déterminer l'expression du terme général, remarquons que les équations qui déterminent A0> A,, A2,..., sont indépendantes de la forme de la fonction ç>.

On peut donc poser 9 {x) = e*9 et les coefficients relatifs à cette hypothèse conviendront dans tous les cas. Or l'équation ( 1 ) devient alors

e*(eA — \)=he*-\-\{he*(ek— 1) -+-A,Aae*(e*— 1)-+-. . . , c'est-à-dire

d'où l'on conclut (305)