UVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE
on a, par conséquent, pour une fonction quelconque
Cette formule a d'importantes applications, que nous étudierons dans un autre chapitre, lorsque nous pourrons faire connaître les conditions de la convergence et les limites de Terreur commise en s' arrêtant à un terme donné.
334. Formule de M. Boole. — M. Boole a fait connaître une formule analogue k celle de Stirling, qui s'obtient facilement, comme la précédente, par la méthode des coefficients indéterminés; elle est de la forme
+ Aa/i3 [f{x + h)-hf{x)]+....
En égalant, comme dans le cas précédent, les coefficients des mêmes puissances de A, et remarquant que ç'(a?) est facteur commun dans ceux de A, ?"(a?) dans ceu* de h*, et ainsi de suite, on a
I — 2 Ai =o
Ai 2Aj = O,
— Aa 2 A3 = O ,
De ces équations on déduit
Pour trouver l'expression du terme général, remarquons, comme dans le cas précédent, qu'il est permis, sans changer les coefficients cherchés, de faire une hypothèse particulière, y(x) = e* par exemple ; l'équation ( 1 ) devient alors
e'ie^— 1) = A, Ae*(e* -M) -h A, A»e*( e*-f-i)-h...,
eh— 1
eh.
et par conséquent (305)
Ai=-> Aa=o, A, = 75 A4 = o, A4=-7-» A« — o, A7= , ] v
:m PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Si Ton pose (x-{-h) =y9 l'équation de M. Boole devient
1135. Formules de M. Tchebitchef. — La méthode des coefficients indéterminés a conduit M. Tchebitchef à plusieurs séries fort remarquables. Supposons que Ton connaisse un développement en série de la forme
(,) V(x)=fi*)+f{*x)+f[S*)+Mx) + ....
Proposons-nous d'en déduire le développement de/(i) en série de la forme
M /(i) = AiF(i)4-A,F(2)-hA,F(3)4-...-hA.F(ii) + ....
Ce problème, dont les applications semblent au premier abord très-restreintes, a cependant une véritable importance. Pour le résoudre en général; et déterminer les coefficients A,, A2,..., -Aw, qui, l'équation (2) étant admise, sont indépendants de la forme des fonctions qui y figurent, remplaçons dans l'équation (2), Ff'i), F (2), F (3),... par leurs valeurs déduites de l'équation (r), quand on y suppose successivement x = 1, #=2, x = 3, — On obtiendra une équation de la forme
à laquelle on satisfera évidemment en posant
P,= i, P, = o, Pa = of...; P. = o ..;
on forme ainsi les équations
A, = 1 , o = A2 -h 1 , o = A3 -h 1 , o = A4 4- A . -h 1 , et Ton en déduit
La loi générale est la suivante :
Si n est premier, on a À„ = 1 . Si n est le produit de plusieurs facteurs premiers différents et en nombre k, on a A„ = (— 1)*. Enfin lorsque n contient deux fois le même facteur premier, A„ est nul.
La démonstration de ces trois théorèmes est fort simple. Si n est premier, le second membre ne contient que deux termes en/(n), qui proviennent de A, F (1) et de A„F (71), en sorte que l'on a
et comme A, = t, on conclut
