LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. :Btf

Si l'on a n = pqrs... kl, p, q, r... k, l, désignant des nombres premiers différents, le coefficient de/(/i) dans l'équation (3) est la somme des coefficients A. dont les indices sont les diviseurs de n. Or on peut partager ces termes en deux groupes: ceux qui ont pour indices des diviseurs du produit /?jrr...£, et ceux dont l'indice contient le facteur /. La somme des premiers est nulle, parce qu'ils forment

le coefficient de/ (y), déjà égalé à zéro ; il reste donc

A/ -+- \pt -4- \qt -+- ... H- Ad/ H- ... -4- A^r...*/ = o ,

D désignant un diviseur quelconque du produit pq...k. Mais si l'on admet le théorème démontré pour les coefficients dont les indices ont un nombre moindre de facteurs, tous les termes de cette équation sont précisément égaux et de signes contraires (sauf le dernier), à ceux de l'équation qui exprime que le coefficient def(pqrs...k) est nul. Les derniers termes de deux équations doivent donc être de même égaux et de signes contraires; on a donc

et par conséquent, lorsque le théorème est vrai dans le cas où n contient moins de n facteurs, il est vrai aussi lorsqu'il y en a n.

Supposons enfin n = apm, p étant premier et différent de l'unité. En égalant à zéro la somme des coefficients dont l'indice est diviseur de ap'nf on trouvera d'abord la somme de ceux dont l'indice est diviseur de a, et cette somme est nulle, puisque le coefficient de /(a) doit être égalé à zéro dans l'équation (3). De même 1rs termes dont l'indice contient une seule fois p en facteur, ont une somme nulle, comme on le voit en écrivant que le coefficient def(ctp) est égal à zéro. Il en est de même de ceux dont l'indice contient p2 en facteur, et ainsi de suite, en sorte que l'équation se réduit à

\pm H- AD pm -+- ADtPm -f- ■ • • -h Aa/,«i = o ,

Df, D2..., désignant les diviseurs de a. Si donc on admet que A„ soit nul toutes les fois que n est le produit de pn par un nombre moindre que a, il sera nul nécessairement pour n = affn, ce qui démontre le théorème, car il est bien facile de le vérifier pour n=pm.

Pour appliquer le théorème précédent, considérons la formule évidente

on en conclut

= a~* H- a~2x -+- a~*T -h or** -h . . . ,

on a aussi

/(i — ax) j df a** a" a^

x x ix 3x 4X '

on en conclut, en cherchant la valeur de pour x=tf

/(i— a) l(i — a2) l(i — a*) /(i — a5) /(i — g*) /(»— a7) /(i — g") i 2 3 5 o , 7 io

et par conséquent

(i— fl»)»(i — fl3jf(, «»)•(, «')"*(i — a»)^"(i— a'»p . . .

336. M. Tchebitchef a considéré également le cas où deux fonctions F (x) et/(x)t sont liées par une équation de la forme

(,) F(x)=f(x)-hf(3x)+f(6x) + ....

On p<mt encore dans ce cas exprimer/(i) par une série de la forme

(2) /(i)=AIF(i) + AiF(3) + A.F(5)4-.-..

Pour trouver les coefficients, on remplacera dans le second membre F(i), F(3)..., par leurs valeurs déduites de l'équation (i), et en égalant à zéro les coefficients de

/(3),/f 5),/(7)...f et à l'unité celui de/(i), on aura

Ai = i , A, 4- A, = o, As-f-A,=7 0, A,-j-A, = o, A9-h A, H- A, = o ,

En général, en désignant par n un nombre impair quelconque, il faudra égaler à zéro la somme des coefficients dont l'indice est un diviseur de n. On verra, absolument comme dans le cas précédent, que si n est divisible par un carré, onaArt = o, et que dans le cas contraire, si n est le produit de k nombres premiers différents, on a A„ = ( — i)\ et par conséquent la série ( i ) devient

/(i) = F(i)-F(3)-F(5)-F(7)-F(ii)-F(i3) + F(i5)-F(i7)-F(i9}-hF(ai)— ..,.

Théorie des fonctions génératrices.

337. La théorie des fonctions génératrices créée par Laplace a été exposée par lui dans son grand ouvrage sur le Calcul des Probabilités. L'autorité de son nom a contribué a faire adopter les définitions et les notations qu'il a employées; elles

sont aujourd'hui trop connues des géomètres pour que nous négligions de les indiquer et de faire connaître quelques-unes de leurs applications les plus simples.

Lorsqu'une fonction 9 (x) est développée en série ordonnée suivant les puissances de la variable dont elle dépend, et que Ton a

f ( x) = A0 4- A, x -h A, z* -h. . . -+- A„ xm -h . . . ,

on dit que 9 [x) est la fonction génératrice de A„.

Ainsi, par exemple, e* est la fonction génératrice de ~

Lorsque le développement de 9 (x) contient des termes affectés d'un exposant négatif, la définition s'y applique sans difficulté et 9 (x) reste la fonction génératrice de Ant A„ étant uue fonction de n qui, pour les valeurs positives ou négatives de l'entier /», représente le coefficient de xn dans le développement. Lorsque la série qui représente 9 (x) ne contient que des puissances positives de x, A„ doit être considéré comme égal à zéro pour toute valeur négative de n.

338. 9 (x) étant la fonction génératrice de Aw, ^y-j est celle de A„+p9 et 9 (x)xp

celle de A„p. Lorsque n — p est négatif, An p doit être considéré comme nul, mais le théorème reste exact, car dans le développement de 9 (x,, les exposants de tous les termes sont positifs, et par conséquent dans celui de f[œ).af ils sont tous plus grands que/?.

On voit tout aussi facilement (\uc<?(x) fi — 1) est la fonction génératrice de

An+t — An ou A A„ , et il en résulte que 9 [xj ( 1 ) est celle de A2 A„, 9 [x) l - . — 1 )

/ 1 \p celle de A8 A„, et en général 9 {x) ( 1 J celle de A^A,,.

En combinant ce théorème avec le précédent, on voit enfin que cp(x) xp(- — 1 ) est la fonction génératrice de A*A„-p.

339. Les remarques qui précèdent fournissent une démonstration simple d'un " théorème remarquable relatif aux différences d'une suite quelconque de nombres.

Toute équation identique dont les deux membres sont des fonctions entières <et

rationnelles de x, - et ( 1 ) , reste exacte lorsque l'on y remplace les produits

de la forme af (^ — 1 \ et —p l - — i j par A*A„P et ±*An+p, A, désignant un nombre entièrement arbitraire.

Multiplions en effet l'équation identique donnée, par 9 (x) fonction génératrice de A*, et, après cette multiplication, développons en série les deux membres de l'équation qui, par hypothèse, sont identiques. Les coefficients de xf1 seront égaux I. 43

de part et d'autre, et cela donne précisément le théorème énoncé» puisque ( 338) a? ( l-—\ ) 9 {x) est la fonction génératrice de &q A„„p9 et —p ( - — i j tf (x) celle

de A'A^,.

340. Nous nous bornerons à citer les applications les plus simples du théorème précédent ; on a

\x~ / ~~xp-p^+ ,.2 S^+" •+(-')'»

=-[i+(HT-+'(î-)+iiS£,(î-)v-+(î-)''

on en déduit

(i) a/' A„ = A.+#,— j>A„+,, -h PiPJ~^ A,M/,., -K . . + ( — i)f A,, .

(2) AM+/, = A,,-f-/?AAM-f-^^::^-)^A„-+-...H-AfAn.

Ces deux formules, faciles à démontrer directement, sont Tune et l'autre trèsconnues, et nous avons déjà eu occasion d'en faire usage.

La formule suivante, donnée parLaplace, a aussi une grande importance. Posons

. .» . la

Le théorème de Lagrange donne

et comme d'après l'équation (3) on a x = x ( l — i ), cette relation a lieu entre x, - et ( m ; le théorème général peut donc être appliqué, et donne

Dans cette formule, A0, A,..., A„, sont les coefficients des puissances de x dans le développement d'une fonction quelconque; ce sont donc des nombres quelconques se succédant suivant une loi arbitraire; A,, A 2,..., A„..., sont également des nombres quelconques, car le développement de <p {x) peut contenir des puissances négatives de a?: on peut, si l'on veut, les supposer nuls.

La formule (i) donne