LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. :*;M
les termes dans lesquels l'indice de A est négatif devant être remplacés par zéro. Dans la formule (5), les facteurs Aw, A„,,..., A0, qui restent les mêmes pour une valeur donnée de n, ont des multiplicateurs qui grandissent indéfiniment avec k. La série indéfinie formée par le second membre de (4) n'est donc pas convergente et doit être rejetée comme expression exacte de A,l+/,, mais elle peut cependant donner une approximation utile lorsqu'on se borne à un nombre limité de termes. C'est une circonstance remarquable commune à plusieurs séries divergentes, et dont nous donnerons d'autres exemples. La démonstration de Laplace n'est pas propre à la mettre ici en évidence, et nous allons, pour cette raison, en donner une démonstration plus directe, qui nous apprendra sous quelles conditions elle est applicable.
La formule (4) devient, lorsqu'on y suppose p= i,
16) A^, = A„ 4- AA„, 4- V A„, 4- A3 A„3 -h . . . .
Pour l'établir directement, remarquons que l'on a, d'après les définitions des différences,
et l'on en déduit, en ajoutant et supprimant les termes communs,
(7) Aw= A. 4- AA.-. + A'A„, +. . . A*An__,4- A*+' A-i.
Si donc AA+I A„A est très-petit, on pourra regarder la formule (6) comme exacte, en se bornant aux k-\-\ premiers termes du second membre, et ne pas se préoccuper de la convergence de la série indéfinie.
En changeant h en 714-1 dans l'équation (7), on a
(8) .U^.U+a VM-hA=Art(+... ^A^.i-hA^'A^.*.
Or on a, en remplaçant successivement dans la formule (7), A,„ qui est une fonction quelconque de n, par AA„, AaA„, A8A„,..., et en même temps n par n — 1 , /i— 2, n — 3,...,
A A. = A A.., 4- A2 A„, -+- ... 4- A«+' A„*, 4- A'+> An*, , A* A.., = A' A„a4-A3 A„, 4-. • -4- A'-"A«*-, 4- A*-«A„*a, A\\,, = y \H 4- y A.., 4- . . .4- A'-3 A.* 4- A4*1 A-*-, .
et par la substitution de ces diverses expressions, l'équation (8) devient
A„+i = V, 4- 2 A A,,, 4- 3 A' An-, 4- ... 4- /f A* A^.,^ 4- R ,
le terme R étant négligeable si les différences d'ordre supérieur à k" sont très-petite*. Cela posé, si Ton admet que la formule
(9) A^^^+psA^ + l^^^^llE^ll^)^^...
soit démontrée exacte pour une certaine valeur de p, les différences d'un certain ordre étant négligeables, on peut prouver qu'elle est vraie, sous la même condition, pour la valeur immédiatement supérieure. En prenant en effets les différences successives de deux membres de l'équation (9), et diminuant à chaque fois l'indice /î d'une unité, on a
A»A,+r., = A'A.., + />A'A..l-fP(f+')A'Al,..,+..M ' 1.2
AJ\,l h/,3 = A3A„,-+-/>A\\,,l-t-. . .,
et en ajoutant ces équations, remarquant que l'on a
il vient, en ayant égard aux propriétés connues des coefficients du binôme,
A A4.f- + 1-4t . (f + Olf + i) . . (pH-i)(/> + a)(^+3)
la formulées! donc générale.
341 . Nous terminerons en indiquant quelques applications simples de la théorie des fonctions génératrices.
Problème. — Trouver une fonction de x telle que Ton ait
(1) F.;.i--f-/>)-hA, K:.r-h/'-i; + A...F;.r + /?-?.)-H- • • -+- V^Fî.r) — o,
p étant un nombre entier donné et x une valeur quelconque attribuée à la variable. Remplaçons x par un entier arbitraire h, on devra avoir
( >. ) F( n -h p ) -h- A, F ( n -+- p — i ) -h . . . -+- Xp F ( n ) = o.
Soit v la fonction génératrice de Y (nJ9 c'est-à-dire la fonction
(3) r=F(o)H-/F;i)-r-/7F(2)-h- ... -h /• F ( n ) -+- ...; le premier membre de l'équation \i) est la fonction génératrice de
(4) jH-A.j^-h...-4-A^.
