LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Il est donc prouvé que <pp{n) est une fonction paire de n — -> lorsque p est impair, et qu'il est une fonction impaire, lorsque/? est pair.

350. Si dans la fonction yp ( n) on fait n = -, on a, lorsque p est pair,

f,(ï)=o, et lorsque/? est impair,

Pour le démontrer, rappelons de nouveau que<pp(n) est le produit par r.2.../>, du coefficient de af dans le développement de

e"x — i ex— i '

9* ( - ) est donc le coefficient de * dans le développement de

<^ — i Or on a

Mais

i -x\ * ~~*L,— 4"*"7TÏ \ï) ~ i.2.3. 4W +'"'

2 2 r * i 2/ * fi« , b, 4 \

e'— i~xle*— i\"x\l~ ^T^X~ i.a.3.4*"1"-^ *'

en retranchant l'un de l'autre ces deux développements, on formera celui de

> et l'on verra que le coefficient de — - — est nul si p est pair, et égal à

p-t-l BA>-»-<

si/? est impair. C'est précisément le résultat que nous avions annoncé.

351. Les fonctions <?p(n) et ?,, (n) peuvent se déduire l'une de l'autre par la différentiation, mais la forme de la relation n'est pas la même lorsque/? est pair et, lorsqu'il est impair; on a les deux formules suivantes :

Pour démontrer ces formules, considérons l'équation

En différentiant les deux membres par rapport à n, on a

xen* rf», x2 dvi xf dfù0

«* — i an i . 2 an i . 2 . 3 . . . p an

Mais on a identiquement

xenx ^«x ,

^=jr|n + j?Tl(n)+^ *(») + ... + | *' ' f,(w)-K •]

1 fi. fi*

et en identifiant ces deux développements qui représentent la même fonction» ou obtient les deux formules

352. Les formules précédentes permettent de démontrer un théorème important : Lorsque n varie entre les limites o et 1, la fonction y2p(/i) change une fois de signe

en s' annulant pour n = -y et la fonction y2p+i (n) conserve toujours le même signe.

Remarquons d'abord que <pp(n) est toujours nulle pour les valeurs extrêmes /i=o, n = 1 ; en effet, la fonction

et* — 1

se réduit à l'unité pour n = 1, et à zéro pour n = o, les coefficients des divers termes de son développement sont donc nuls dans ces deux hypothèses. Cela posé, considérons d'abord la fonction