LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

lorsque n varie deoà i, cette fonction reste toujours négative, et son maximum, correspondant à n = -> est

Considérons ensuite

On a

ç, (n) variant de o a — g> puis de — g à o, lorsque n varie de o à -» puis de - à i ,

?J n > passe de ^ à i — 4 ou -> et de à 4- É> elle est donc nulle deux fois

an r 664 I2 12 "

seulement dans cet intervalle, et par suite l'équation y2(n) = o ne peut avoir dans

le même intervalle que trois racines, qui sont n = o, n= -, /i='i.

Démontrons maintenant le théorème général. Admettons pour cela que la fonction <?2p-i (n) satisfasse à la condition énoncée, c'est-à-dire qu'elle reste toujours de

même signe lorsque n varie de o à r, et que le maximum corresponde k la valeur ->

la fonction croissant d'une manière continue lorsque n varie de ok -> et décroissant

ensuite lorsqu'il passe de - k l'unité, de telle sorte que la courbe qui a pour équation

ait la forme suivante

Cela posé, nous avons

Il est évident que cette dérivée, d'après la forme de la fonction <p2p__, (n), ne peut s'annuler que deux fois entre les limites n = o, n = 1, et par suite la fonction ?2p(*) étant nulle aux deux limites ne peut pas avoir plus d'une racine intermédiaire.

Cette racine est, comme on l'a vu, n = -: la fonction, nulle pour n=o, n = - et

X>i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

m = i, étant (349) une fonction impaire de n — -, change de signe pour* =,-,

et la courbe dont elle est l'ordonnée a la forme suivante

présentant un seul maximum entre n = o, n = -» et un seul entre n = -=-• n = 353. On a trouvé

= (ap + i)?v(/i).

La dérivée de la fonction f2^1 (n), ne change donc qu'une seule fois de signe lorsque n varie de o à i , et comme la fonction est nulle aux deux limites, elle conserve le même signe, variant toujours dans le même sens lorsque n varie de o a->

puis atteignant un maximum à partir duquel elle varie en sens inverse, jusqu'à la valeur zéro, de telle sorte que la courbe dont <p2p+i {n) est l'ordonnée, a la forme représentée par la figure de la page précédente ou par la suivante

Digression sur les fonctions nommées par Legendre X„.

35t. Nous avons déduit (315) de la formule de Lagrange l'expression du coefficient de z" dans le développement de l'expression

(l — ?.xz-\-z7)~\

Ces fonctions, étudiées par un grand nombre de géomètres, ont trop d'importance pour que nous puissions nous borner à la mention rapide qui en a été faite, et nous terminerons ce chapitre consacré aux développements en série, par l'indication de quelques-unes des formes qu'on leur a données, et de celles de leurs propriétés qui n'exigent pas l'intervention du calcul intégral. Nous aurons d'ailleurs