LIVRE SECOND.-DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

à les étudier de nouveau et à les utiliser plusieurs fois dans la suite de cet ouvrage. En considérant i — 2xz -4- z2 comme un binôme

1 — z{ix — z), Ja formule de Newton donne

(i 7.XZ -h z2) * =H — z(ix — z)-\ '-jzUîx — z)2-\-

En développant les puissances indiquées, on trouve pour le coefficient X„ de z", x^ i.3. 5... (2/i— i)f n(n—i) ^ n(n— 1) (n — a)(n — 3) ^t 1

Si Ton fait successivement /i = o, n= 1 , «=2,..., on aura les valeurs suivantes :

X3 = - xz x,

Xe=f^^— 2!4!63^^2T^3^- 2T^6'

9.11 ,i3 7-9-" 3j> , 5'^93jra , 3'5'7jr

355. Le théorème de Lagrange nous a conduits (315) à une expression de la fonction X„ dans laquelle on peut facilement transformer celle que nous venons d'obtenir.

Remarquons d'abord que Ton a, quel que soit le nombre entier n,

il suffit, pour le démontrer, de remarquer que le changement de n et n-+- 1» introduit, toutes réductions faites, les mêmes facteurs dans les deux membres, et que l'égalité se vérifie aisément pour les premières valeurs de n.

rttf, PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

D'après cela, le terme général de l'expression de X„ (354) est égal à

, i 2/1(2/1 — i). . (n — am-h i)

im{ i.2.3... n) 2.4. . . 2 m (2/1 — i)(2/i — 3). . . [in — 2m -h 1)

que l'on peut écrire, en supprimant les facteurs communs,

c'est-à -dire

1 n ( m . — 1 ) .. . ( n — m -f- 1 ) dn . .r*1-*"

2"(l.2.3.../l) 1.2.3... /11 cte"

et X„ est la n1""* dérivée de

c'est-à dire que l'on a enfin

\ — ' dn{x2 — i)w

2" . 1 . 2 . 3 . . . n dxn

ce qui est l'expression déjà obtenue (315) et donnée pour la première fois par 0. Rodrigues.