L'équation

XH = o

a toutes ses racines réelles et comprises entre o et 1. C'est là un théorème important, dont la démonstration résulte de l'expression précédente de X„. On sait en effet que lorsqu'une équation a toutes ses racines réelles, sa dérivée les a également réelles et toutes comprises entre la plus grande et la plus petite racine de la proposée. Or l'équation

( jr ' — 1 )n = o

a évidemment in racines réelles, savoir n égales à — 1, et n égales à -h 1; les dérivées successives ont donc toutes leurs racines réelles et comprises entre — 1 et -f- 1 , et comme X„ est, à un facteur près, l'une de ces dérivées, le théorème se trouve démontré.

357. Nous donnerons enfin une équation différentielle du second ordre, à laquelle satisfait la fonction X„, et qui, sans la caractériser complètement, a été souvent utilisée dans l'étude de ses propriétés.