LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Pour obtenir cette équation, posons

U = (l — 2XZ ■+- 31) * ,

on en conclut

du z d7u 3za

dx — - dx3 ~" A

(i — ixz-\- z1)1 (i — ixz H-z*)1

du x — z diu i 3(jr — z)*

dz (i-*xz + z*f dZ' (x — ixz + z*)* fi-aw + 2»)'

de là résulte

( \ — ?.xz~+- z*y

du du ?.z*

ÏX-. 22-r =

dx dz

(l —nxz-\-z*y et par conséquent,

c'est-à-dire

</ du d .du

Si dans cette équation on remplace u par sa valeur,

u= i-f-X.z-hX^'-K. -f-\.3"-h...,

en égalant à zéro le coefficient de zn, on aura

c'est-à-dire

(,~ )1xT~ *x-^+n(n + i)XH=o.

358. Nous ferons connaître, pour terminer cette digression, une relation simple qui lie trois fonctions consécutives X„, X„+|f Xw,, et qui a été plusieurs fois utilisée dans l'étude de ces fonctions.

On a par définition

(0 [1 — t.xz -f-s«p =n-X,* -|-X,z'-K..-4-X,2"-K..,

on en déduit, en différentiant par rapport à z,

et par conséquent, en multipliant les deux membres par i — 2xz -h z2,

(jr — z)(i — *xz + z'f* =(i -aj?2-|-2,)(XlH-2Xlz-h. . .-h-nX»*"-1-»- . . .)•

Si dans le premier membre de cette équation on remplace (i — *xz+z2)" par son développement, et que Ton égale les coefficients de zn dans les deux membres, on trouve

(3) (n-f-ijX.H.i — (aii-f- i)xXm+nXm-l = o.

En différentiant l'équation (i) par rapport à x, on trouve, après avoir supprimé le facteur z,

i rfX, JX, d\n

(l — 1XZ-\- z7)

Cette valeur de (i — 2a?z-hza)~a substituée dans l'équation (2) donne, si Ton égale les coefficients de zn~K dans les deux membres,

(z\ «X* ftX«-i v

mais l'équation (4) peut s'écrire

En remplaçant le premier membre par son développement, et égalant les coefficients de zn dans les deux membres, on en déduit

/ n\ V "^«+1 ttXn aX*-i

(6) X" = ~5F" — 2Xrf7"'""rf^'

et la comparaison des formules (5) et (6) donne

= (an-f-i)X,

rfXn4., rfX„,

On en conclut, en changeant «en n — 2, n — j,.,., et ajoutant les équations ainsi