FONCTIONS D'UNE VARIABLE IMAGINAIRE

Définition d'une fonction imaginaire.

359. Lorsqu'une fonction y(z) est donnée pour toutes les valeurs réelles de la variable z dont elle dépend, elle n'acquiert pour cela aucun sens lorsqu'on y remplace z par une expression imaginaire x -+- y ^— i : l'expression, y {x-hy^— 1)> ne peut donc s'introduire dans les calculs ou dans les raisonnements, sans une définition précise qui, pour toutes les valeurs réelles de x et de j, en fasse connaître la partie réelle et la partie imaginaire, en permettant d'écrire

P et Q étant deux fonctions réelles connues de x et de y.

Il ne faut pas croire cependant que les deux fonctions P et Q puissent être choisies arbitrairement; toute expression de la forme

où P et Q sont des fonctions de x et de y, n'est pas une fonction de x-\- y\J— i ; pour la considérer comme telle, on exige une condition sans laquelle disparaitrait toute analogie entre les fonctions imaginaires et les fonctions réelles ; pour que la somme P-hQ^— i soit considérée comme une fonction de x -+- y\j— i * il ne suffit pas que cette expression soit déterminée lorsqu'on se donne x et y, il faut encore qu'elle ait une dérivée déterminée et que le rapport de son accroissement infiniment petit, à l'accroissement correspondant dx-\-dy\J ' — i de la variable, soit indépendant du rapport arbitraire -r^« Si l'on voulait s'affranchir de cette condition, la théorie des fonctions imaginaires serait simplement celle des fonctions de deux variables et leur étude spéciale n'offrirait aucun intérêt.

360. Lorsqu'on attribue à x et à y les accroissements infiniment petits dx et rfy, l'accroissement de P-h Q \J — i est

<!V rfP , (dQ dQ , \ (dV . dQ\ , , /c?P^ y rfQ\,

ginaire possède, ainsi que nous le verrons, un grand nombre de propriétés trè*précises et indépendantes de sa définition; il ne faut pas en effet, on le comprend dès à présent, attacher à une fonction imaginaire quelconque, l'idée d'une indétermination aussi complète que celle d'une fonction réelle quelconque. Pour chaque valeur de la variable, une fonction réelle peut être choisie arbitrairement, et les seules restrictions auxquelles sont soumises ses variations sont celles qui résultent

de la loi de continuité; la partie réelle et le coefficient de yj — i dans une fonction imaginaire sont assujettis au contraire à des conditions très-précises exprimées par les équations que nous venons d'obtenir et d'après lesquelles chacune d'elles représente l'ordonnée d'une surface qui, loin d'être arbitraire, appartient à une classe toute particulière dont on conçoit fort bien que l'on puisse étudier les propriétés sans avoir besoin de rien préciser davantage.

362. Il sera utile d'exprimer les conditions nécessaires pour que la somme

P + Qv/— ,

où P et Q désignent les fonctions des variables p et w, soit une fonction de

p(cosw H- v^ — l sinw).

Si l'on change p en p -+- dp, et « enw + rfw, l'accroissement de P -+- Q V— i est rfP

rfP, rfP, , (dQ, dQ , \

l'accroissement correspondant de la variable est

</p(cosw-h \/ — i sinw) -h pdv ( — sin w 4- y — » cosw).

Pour que le rapport de ces deux accroissements soit indépendant de -^A il faut et il suffit que l'on ait

rfP

1 sinw

— dQ du

COSw-h

— sinw H- \! — 1

cos

en multipliant par p \/ — 1 les deux termes du premier membre, les dénominateurs deviennent égaux, et l'on a, en égalant les parties réelles des numérateurs, et les coefficients de \/— 1 ,

<W dQ

? dp du '

dp dv