LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Telles sont, d'après nos conventions, les conditions nécessaires et suffisantes pour que la somme P-f-Q\/ — i soit une fonction de /9(cosu-+-\/— i sin w).

363. Les conditions précédentes sont les seules qui soient imposées aux fonctions imaginaires, et pourvu qu'elles soient remplies, la définition reste entièrement arbitraire. On conçoit cependant qu'une fonction imaginaire ne s'introduira avantageusement dans les calculs que lorsqu'elle sera réellement la généralisation de la fonction réelle de même nom, à laquelle elle se réduit quand on suppose y=o, et qu'elle partagera ses propriétés caractéristiques. Cette analogie, regardée à priori comme une condition essentielle, est la base des définitions que nous allons donner de quelques-unes des fonctions les plus simples.

364. Les propriétés générales des fonctions réelles doivent aussi s'appliquer aux fonctions imaginaires ; les définitions doivent être telles que cela ait lieu, et si cette condition Impliquait contradiction, la théorie des fonctions imaginaires devrait être abandonnée comme inutile. C'est pour cela, par exemple, qu'une expression déterminée lorsque x -h y y/— i est donné, ne reçoit pas cependant le nom de fonction de x h- y \/— i , si elle n'a pas, par rapport à cette variable, une dérivée déterminée. Rien ne s'opposerait certainement à ce qu'on lui accordât ce nom, mais cela aurait l'inconvénient d'éveiller par analogie des idées inexactes.

Parmi les théorèrpes applicables également aux fonctions imaginaires et réelles, nous' nous bornerons à citer le suivant : Deux fonctions imaginaires qui ont même dérivée, ont une différence constante. Soient

les deux fonctions considérées. D'après les résultats obtenus (360), les dérivées de u et de ut étant égales, on a

d? __ </P, d Q </Q, dx dx dx dx

JP__rfP, dQ dQ> dy ~~ dy ' dy ~~ dy '

et ces équations prouvent que les dérivées des différences P — P,, et Q — Q,, par rapport à x et par rapport à y, sont égales à zéro ; ces différences sont donc indépendantes de x et de/, et par conséquent constantes.

Définition de quelques fonctions simples.

365. Définition dezm lorsque m est entier. — On est conduit, dès les éléments, à remplacer dans la fonction zm, la variable z par x +y^—i\ on a, en appliquant la

formule du binôme qui, dans le cas de l'exposant entier, résulte des règles de la multiplication,

/ / \ T m{ni — i) , , m (m — i) (m — i) (m — 3) __ . . 1

Il est aisé de voir que cette expression remplit la condition précédemment exprimée, et que la dérivée de zm, par rapport à z, est mz'*-*, précisément comme dans le cas où z est réel. La démonstration repose en effet (26) uniquement sur le développement de (z-hh)m, qui s'applique sans modifications au cas où z et h sont imaginaires.

La même conclusion s'applique évidemment à une fonction entière quelconque de la variable z, et toute expression de la forme

( 1 ) A zm -f- A , z—% -f- A, a—' 4- ... 4- A„, z -+- \m ,

où A,, A2,..., Am, représentent des constantes réelles ou imaginaires, est une fonction de z qui a pour dérivée

m A s"1-' -h ( m — 1 ) A, zm~2 -+- ... -h A»-,.

Si le polynôme ( 1 ) est remplacé par une série indéfinie, on a vu (262) que, pour les valeurs de la variable qui rendent la série convergente, la série des dérivées est elle-même convergente et représente la dérivée de la série. Nous pouvons par conséquent étendre nos conclusions aux séries convergentes ordonnées suivant les puissances de la variable. C'est la une remarque très-importante et qui, lorsqu'une fonction réelle est développable en série convergente, permet, comme nous allons en donner des exemples, d'en étendre la définition au cas où la variable est imaginaire.

366. Définition de ez. — La fonction e*f lorsque z est réel, est représentée par la série toujours convergente

En remplaçants \>zvx-\-y\l— 1, on forme l'expression

que nous prendrons comme définition de ex^~t. 11 est facile de sommer cette série et d'en trouver la partie réelle et la partie imaginaire. En développant en effet les