LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

puissances de (« + vv'- 0 qui figurent dans les différents ternies de la série, et réunissant dans ces divers développements les coefficients de -3 , on trouve

La partie réelle est

xp l r5 V4 \ * Jr^ 5 I i — — H L- 5- 7 — ... ) = 5 COS V,

et la partie imaginaire,

xP\^î ( r* , r5 \ ^ /— .

5 l}" — ^ô H ' o / g — •••) = 5 V""1 Sln y':

le terme en af est donc

5 (cosr-h*/— » sinr),

et la série (i) se réduit à

(cos r-f- J—î sinr) ( i-+-*-\ K . H 5 h. . ) =es ( cos v-+- v^ — » sin >• ';

on a donc enfin,

(2) é-*4* l'-1 = ** (eosj-h \j — 1 sin/).

On peut remarquer que dans la démonstration précédente les termes de la série considérée ont été intervertis, mais, leurs modules formant une série convergente, cela n'a aucun inconvénient.

367. La fonction e* étant, d'après la définition même, représentée par une seule et même série pour les valeurs réelles ou imaginaires de z, une seule et même série représentera aussi les dérivées dans les deux cas, et il en résulte que l'équation

(,) Tz —

s'applique aux valeurs imaginaires comme aux valeurs réelles de z. Il est d'ailleurs bien facile de vérifier directement que l'expression

<-* (cos j'-h ^— 1 sin y)

satisfait aux conditions données (359) et qu'elle est égale à sa dérivée. On peut

aussi vérifier la formule

qui a lieu pour toutes les valeurs des exposants z et u. Le succès de cette vérification ne doit d'ailleurs causer aucune surprise. ez et e" étant en effet représentés ' par des séries telles, que l'équation (2) soit identique quand les variables sont réelles, il est tout simple que cette équation reste vraie quand on substitue à x des expressions imaginaires quelconques.

En supposant ^r=o, ona

e**-1 = cos%r -+- v^~i si 11 r, et en changeant y en — y,

<?-j|'-, = cos4r — y7 — « sin r:

on déduit de ces formules

cosr =