LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 3C

Ces formules permettent de calculer, sans recourir aux séries, la partie réelle et la partie imaginaire d'un sinus ou d'un cosinus quelconque. On a

ros \x-\-yy — i j = = cos.r h y — i sin a: •>

. f , N e*v-x-r — er-^+f , (er — e-x) m e/ + e^

sin^x-h yy — i) = = y — ' cosa; -hsina:

Si l'on suppose x = o, ces formules deviennent

/ er^-e-r

vos y y — i = ?

sinvy — i = =-= y — i ;

on en conclut

cos(jc ' -\-y^ — i) = cos.rcos/v' — ' — sin .r sin W — •» (3)

sin (x -f- y v^— i ) = sin x cosj y/ — i 4- cosx sinpv^ — ! •

Ces deux formules sont d'ailleurs des cas particuliers des formules plus générales

cosf « + c) = cosm cosc — sinu sine,

sin(M -f- e ) = sin u cose -f- sine cosa,

qui ont lieu pour des valeurs réelles ou imaginaires de u et de *>. On peut vérifier aussi la formule

(5) sWz-hcos* z = t,

qui résulte des équations ( i ) et qui, combinée avec les équations (4)» permet d'étendre au cas des variables imaginaires les formules principales de la trigonométrie.

La forme des séries qui représentent sinz et coss montre enfin que l'on a pour les valeurs imaginaires comme pour les valeurs réelles de z

rfsinz

— - — =cosz, dz

dcosz

— j — = — sinz.

dz

369. Définition de tangz. — La fonction tangs n'étant pas développable en série pour toute valeur réelle de z, ne peut pas, lorsque z est imaginaire, être définie par la série qui la représente. Nous poserons, comme définition,

sin z

langz = »

° cosz

et, par conséquent,

nous poserons de même